所以ｘ的取值范圍是

（2） 因?yàn)?/span>CN=PN，∠CPN=60°，所以三角形PCN是等邊三角形．所以CP=6

所以AP=AC-PC=12-6=6

即當(dāng)∠CPN=60°時(shí)，ｘ=6分米

（3） 連接MN、EF，分別交AC與0、H，

因?yàn)?/span>PM=PN=CM=CN，所以四邊形PNCM是菱形。

所以MN與PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分線

在中，PM=6，

又因?yàn)?/span>CE=CF，AC是∠ECF的平分線，所以EH=HF，EF垂直AC。

因?yàn)?/span>∠ECH=∠MCO，∠EHC=∠MOC=90°，

所以，所以MO/EH=CM/CE

所以

所以

所以

15.（2010珠海）19.如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，

連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B.

(1) 求證：△ADF∽△DEC

(2) 若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的長(zhǎng).

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

           ∴AD∥BC   AB∥CD

           ∴∠ADF=∠CED     ∠B+∠C=180°

           ∵∠AFE+∠AFD=180  ∠AFE=∠B

           ∴∠AFD=∠C

           ∴△ADF∽△DEC

(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC  CD=AB=4

        又∵AE⊥BC        ∴ AE⊥AD

        在Rt△ADE中，DE=

       ∵△ADF∽△DEC

∴         ∴    AF=

16.(2010年濱州)本題滿分8分)如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．

(1)寫出圖中兩對(duì)相似三角形（不得添加輔助線）；

(2)請(qǐng)分別說(shuō)明兩對(duì)三角形相似的理由．

解：(1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE 

(2)①證△ABC∽△ADE．

∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，

即∠BAC=∠DAE

又∵∠ABC=∠ADE，

∴△ABC∽△ADE．

②證△ABD∽△ACE．

∵△ABC∽△ADE，

∴ 

又∵∠BAD=∠CAE，

∴△ABD∽△ACE

(2010年濱州)15．如圖,A、B兩點(diǎn)被池塘隔開,在AB外取一點(diǎn)C,連結(jié)AC、BC，在AC上取點(diǎn)M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,則AB的長(zhǎng)為         

【答案】152

17.（2010日照市）

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC與E，交BC與D．求證：

（1）D是BC的中點(diǎn)；

（2）△BEC∽△ADC；      

（3）BC2=2AB·CE．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90° ，

即AD是底邊BC上的高．   

又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形， 

∴D是BC的中點(diǎn)

 (2) 證明：∵∠CBE與∠CAD是同弧所對(duì)的圓周角，

      ∴ ∠CBE=∠CAD．

     又∵ ∠BCE=∠ACD，

    ∴△BEC∽△ADC；

（3）證明：由△BEC∽△ADC，知，

即CD·BC=AC·CE． 

∵D是BC的中點(diǎn)，∴CD=BC． 

  又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE

即BC=2AB·CE．

18.（8分）（2010年浙江省東陽(yáng)市）如圖，BD為⊙O的直徑，點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)，AD交BC于E點(diǎn)，AE=2，ED=4.       

（1）求證: ～；

(2) 求的值；                             

（3）延長(zhǎng)BC至F，連接FD，使的面積等于，

求的度數(shù). 

【關(guān)鍵詞】圖形相似  三角函數(shù)  

【答案】（１）∵點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)　∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ

又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ　　∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分

（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ　∴ＡＢ２＝２×６＝１２　∴ＡＢ＝２

在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分

（３）連接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，則ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形，

∠ＥＤＦ＝６°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

19.（2010年四川省眉山市）．如圖，Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，連結(jié)CC ¢ 交斜邊于點(diǎn)E，CC ¢ 的延長(zhǎng)線交BB ¢ 于點(diǎn)F．

（1）證明：△ACE∽△FBE；

（2）設(shè)∠ABC=，∠CAC ¢ =，試探索、滿足什么關(guān)系時(shí)，△ACE與△FBE是全等三角形，并說(shuō)明理由．

【關(guān)鍵詞】圖形的旋轉(zhuǎn)、相似三角形的判定、全等三角形的判定

【答案】（1）證明：∵Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，

        ∴AC=AC ¢，AB=AB ¢，∠CAB=∠C ¢AB ¢   

        ∴∠CAC ¢=∠BAB ¢   

∴∠ACC ¢=∠ABB ¢     

又∠AEC=∠FEB

∴△ACE∽△FBE       

   （2）解：當(dāng)時(shí)，△ACE≌△FBE．   

        在△ACC¢中，∵AC=AC ¢，

        ∴   

        在Rt△ABC中，

        ∠ACC¢+∠BCE=90°，即，

        ∴∠BCE=．

        ∵∠ABC=，

        ∴∠ABC=∠BCE    

        ∴CE=BE

        由（1）知：△ACE∽△FBE，

        ∴△ACE≌△FBE．

20. （2010年安徽中考）如圖，已知△ABC∽△，相似比為（），且△ABC的三邊長(zhǎng)分別為、、（），△的三邊長(zhǎng)分別為、、。

⑴若，求證：；

⑵若，試給出符合條件的一對(duì)△ABC和△，使得、、和、、進(jìn)都是正整數(shù)，并加以說(shuō)明；

⑶若，，是否存在△ABC和△使得？請(qǐng)說(shuō)明理由。

【關(guān)鍵詞】三角形相似

【答案】

（1） 證明：∵△ABC∽△，且相似比為（），∴∴

又∵，所以

（2）取a=8,b=6,c=4，同時(shí)取

此時(shí)∴

（1） 不存在這樣的△ABC和△，理由如下：

若k=2，則

又∵，，

∴

∴b=2c

∴b+c=2c+c<4c=a，而b+c>a

故不存在這樣的△ABC和△使得。

21、（2010年寧波）如圖1、在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，□ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)B在軸的正半軸上，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線與軸交于點(diǎn)F，與射線DC交于點(diǎn)G。

（1）求的度數(shù);

（2）連結(jié)OE，以OE所在直線為對(duì)稱軸，△OEF經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△，記直線與射線DC的交點(diǎn)為H。

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，求證：△DEG∽△DHE;

②若△EHG的面積為，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)。

解：（1）

       （2）（2，）

       （3）①略

            ②過(guò)點(diǎn)E作EM⊥直線CD于點(diǎn)M

∵CD∥AB

∴

∴

∵

∴

∵△DHE∽△DEG

∴即

當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)G的右側(cè)時(shí)，設(shè)，

∴

解：

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0）

當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)Ｇ的左側(cè)時(shí)，設(shè)，

∴

解：，（舍）

∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ

∴

∵

∴點(diǎn)Ｆ的坐標(biāo)為（，0）

綜上可知，點(diǎn)Ｆ的坐標(biāo)有兩個(gè)，分別是（，0），（，0）