阿拉伯?dāng)?shù)字在生活中，我們經(jīng)常會(huì)用到0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這些數(shù)字。那么你知道這些數(shù)字是誰(shuí)發(fā)明的嗎？
   這些數(shù)字符號(hào)原來(lái)是古代印度人發(fā)明的，后來(lái)傳到阿拉伯，又從阿拉伯傳到歐洲，歐洲人誤以為是阿拉伯人發(fā)明的，就把它們叫做“阿拉伯?dāng)?shù)字”，因?yàn)榱鱾髁嗽S多年，人們叫得順口，所以至今人們?nèi)匀粚㈠e(cuò)就錯(cuò)，把這些古代印度人發(fā)明的數(shù)字符號(hào)叫做阿拉伯?dāng)?shù)字。 
   現(xiàn)在，阿拉伯?dāng)?shù)字已成了全世界通用的數(shù)字符號(hào)。

                              九 九 歌
    九九歌就是我們現(xiàn)在使用的乘法口訣。
    遠(yuǎn)在公元前的春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，九九歌就已經(jīng)被人們廣泛使用。在當(dāng)時(shí)的許多著作中，都有關(guān)于九九歌的記載。最初的九九歌是從“九九八十一”起到“二二如四”止，共36句。因?yàn)槭菑摹熬啪虐耸弧遍_(kāi)始，所以取名九九歌。大約在公元五至十世紀(jì)間，九九歌才擴(kuò)充到“一一如一”。大約在公元十三、十四世紀(jì)，九九歌的順序才變成和現(xiàn)在所用的一樣，從“一一如一”起到“九九八十一”止。
    現(xiàn)在我國(guó)使用的乘法口訣有兩種，一種是45句的，通常稱為“小九九”；還有一種是81句的，通常稱為“大九九”。

音樂(lè)與數(shù)學(xué)
　　動(dòng)人的音樂(lè)常給人以美妙的感受。古人云：余音繞梁，三日不絕，這說(shuō)的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成調(diào)，這就是唱得不好了。同樣是唱歌，甚至是唱同樣的歌，給人的感覺(jué)卻是迥然不同。其重要原因在于歌唱者發(fā)聲振動(dòng)頻率不同。
　　人類很早就在實(shí)踐中對(duì)聲音是否和諧有了感受，但對(duì)諧和音的比較深入的了解只是在弦樂(lè)器出現(xiàn)以后，這是因?yàn)橄艺駝?dòng)頻率和弦的長(zhǎng)度存在著簡(jiǎn)單的比例關(guān)系。近代數(shù)學(xué)已經(jīng)得出弦振動(dòng)的頻率公式是 W = ，這里，P是弦的材料的線密度；T是弦的張力，也就是張緊程度；L是弦長(zhǎng)；W是頻率，通常以每秒一次即赫茲為單位。
　　那么，決定音樂(lè)和諧的因素又是什么呢？人類經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的研究，發(fā)現(xiàn)它決定于兩音的頻率之比。兩音頻率之比越簡(jiǎn)單，兩音的感覺(jué)效果越純凈、愉快與和諧。
　　首先，最簡(jiǎn)單之比是２：１。例如，一個(gè)音的頻率是160、7赫茲，那么，與它相鄰的協(xié)和音的頻率應(yīng)該是2×260、7赫茲，這就是高八度音。而與頻率為2×260、7赫茲的音和諧的次一個(gè)音是4×260、7赫茲。這樣推導(dǎo)下去，我們可以得到下面一列和諧的音樂(lè)：
　　260、7，2×260、7，22×260、7……
我們把它簡(jiǎn)記為C0，C1，C2，……，稱為音名。
由于我們討論的是音的比較，可暫時(shí)不管音的絕對(duì)高度（頻率），因此又可將音樂(lè)簡(jiǎn)寫為：
C0C1C2C3……
20212223……
　　需要說(shuō)明的是，在上面的音列中，不僅相鄰的音是和諧的，而且C與C2，C與C3等等也都是和諧的。一般說(shuō)來(lái)這些協(xié)和音頻率之比是2M。（其中M是自然數(shù)）

等號(hào)與不等號(hào)Ec
　　等號(hào)與不等號(hào)的發(fā)明權(quán)屬于英國(guó)人。
　?。保担担纺?，數(shù)學(xué)家雷科德在他的《智慧的激勵(lì)》一書(shū)中，首先把“＝”作為等號(hào)，他說(shuō)：“最相像的兩件東西是兩條平行線，所以這兩條線應(yīng)該用來(lái)表示相等?！彼臅?shū)《智慧的激勵(lì)》也因此引起了人們極大的興趣。
　　在數(shù)學(xué)中，等號(hào)“＝”既可表示兩個(gè)數(shù)相等，也可以表示兩個(gè)式子相等，但無(wú)論何種相等，它們都遵循以下規(guī)則：
　?。ǎ保┤鬭=b，那么對(duì)于任何數(shù)c，有a±c=b±c；
　?。ǎ玻┤鬭=b，那么b=a；
　?。ǎ常┤鬭=b，b=c，那么a=c；
　?。ǎ矗┤鬭=b，那么對(duì)于任何數(shù)c，有ac=bc。
　　人們起初用“    ”和“    ”。表示大于和小于，英國(guó)人烏特勒首次在他的《數(shù)學(xué)入門》一書(shū)中使用了它們。另一英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特引入了現(xiàn)在的兩個(gè)符號(hào)：＞、＜。他在自己的書(shū)中明確地寫道：“a＞b表示a量大于b量，a＜b表示a量小于b量?！?/SPAN>
　　不等號(hào)在數(shù)學(xué)中有著普遍應(yīng)用，在使用它們時(shí)，應(yīng)遵循如下原則（a、b為實(shí)數(shù)）
　?。ǎ保┤鬭＞b，則b＜a
　　（２）若a＞b，那么對(duì)于任何實(shí)數(shù)c，有a±c＞b±c；
　　（３）若a＞b，c為大于零的實(shí)數(shù)，那么ac＞bc；
　　（４）若a＞b，c為小于零的實(shí)數(shù)，那么ac＜bc；
    （５）若a＞b，b＞c，那么a＞c。 
                加減乘除的來(lái)歷
　　加減乘除（＋、－、×(?)、÷(∶））等數(shù)學(xué)符號(hào)是我們每一個(gè)人最熟悉的符號(hào)，因?yàn)椴还庠跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中離不開(kāi)它們，幾乎每天的日常的生活也離不開(kāi)它們。別看它們這么簡(jiǎn)單，直到１７世紀(jì)中葉才全部形成。
　　法國(guó)數(shù)學(xué)家許凱在１４８４年寫成的《算術(shù)三篇》中，使用了一些編寫符號(hào)，如用D表示加法，用M表示減法。這兩個(gè)符號(hào)最早出現(xiàn)在德國(guó)數(shù)學(xué)家維德曼寫的《商業(yè)速算法》中，他用“＋”表示超過(guò),用“─”表示不足。到１５１４年，荷蘭的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示減法。１５４４年，德國(guó)數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)爾在《整數(shù)算術(shù)》中正式用“＋”和“─”表示加減，這兩個(gè)符號(hào)逐漸被公認(rèn)為真正的算術(shù)符號(hào)，廣泛采用。
　　以符號(hào)“×”代表乘是英國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W特雷德首創(chuàng)的。他于１６３１年出版的《數(shù)學(xué)之鑰》中引入這種記法。據(jù)說(shuō)是由加法符號(hào)＋變動(dòng)而來(lái)，因?yàn)槌朔ㄟ\(yùn)算是從相同數(shù)的連加運(yùn)算發(fā)展而來(lái)的。后來(lái)，萊布尼茲認(rèn)為“×”容易與“X”相混淆，建議用“?”表示乘號(hào)，這樣，“?”也得到了承認(rèn)。
   除法符號(hào)“÷”是英國(guó)的瓦里斯最初使用的，后來(lái)在英國(guó)得到了推廣。除的本意是分，符號(hào)“÷”的中間的橫線把上、下兩部分分開(kāi)，形象地表示了“分”。至此，四則運(yùn)算符號(hào)齊備了，當(dāng)時(shí)還遠(yuǎn)未達(dá)到被各國(guó)普遍采用的程度。
                   零的歷史
　　數(shù)學(xué)史家把０稱作“哥倫布雞蛋”，這不僅是因?yàn)椋暗男螤钕耠u蛋，其中還含有深刻的哲理。凡事都是開(kāi)創(chuàng)時(shí)困難，有人開(kāi)了端，仿效是很容易的。０的出現(xiàn)就是一個(gè)典型的例子，在發(fā)明之前，誰(shuí)都想不到，一旦有了它，人人都會(huì)用簡(jiǎn)單的方法來(lái)記數(shù)。
　　我們知道，零不僅表示一無(wú)所有，它還有以下的一些意義；在位值制記數(shù)法中，零表示“空位”，同時(shí)起到指示數(shù)碼所在位置的作用，如３０４中的０表示十位上沒(méi)有數(shù)；零本身還是一個(gè)數(shù)，可以同其他的數(shù)一起參與運(yùn)算；零是標(biāo)度的起點(diǎn)或分界，如每天的時(shí)間從０時(shí)開(kāi)始。
　　在古代巴比倫，楔形文字的零號(hào)已起到現(xiàn)今位值制中０號(hào)的作用，它一方面表示零位，另一方面也指明數(shù)碼的位置。然而他們還沒(méi)有把零看作一個(gè)數(shù)，也沒(méi)有將它和“一無(wú)所有”這一概念聯(lián)系起來(lái)。
　　印度人對(duì)零的最大貢獻(xiàn)是承認(rèn)它是一個(gè)數(shù)，而不僅僅是空位或一無(wú)所有。婆羅摩笈多對(duì)零的運(yùn)算有較完整的敘述：“負(fù)數(shù)減去零是負(fù)數(shù)，正數(shù)減去零是正數(shù)，零減去零什么也沒(méi)有；零乘負(fù)數(shù)、正數(shù)或零都是零?！愠粤闶强諢o(wú)一物，正數(shù)或負(fù)數(shù)除以零是一個(gè)以零為分母的分?jǐn)?shù)”。每一個(gè)學(xué)過(guò)除法的人都知道，零不可以作除數(shù)，因?yàn)槿绻鸻≠0而b=0，那就不可能存在一個(gè)Ｃ使得bc=a。這個(gè)道理盡人皆知，但在得到正確結(jié)論之前，卻經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史。
　　我國(guó)自古以來(lái)就用算籌來(lái)記數(shù)，早就用算籌來(lái)記數(shù)，用的是１０進(jìn)位值制。巴比倫知道位值制，但用的是６０進(jìn)制。印度到公元５９５年才在碑文上有明確的１０進(jìn)位值制的記數(shù)法。位值制必須有表示零的辦法。起初，中國(guó)使用空格來(lái)表示零，后來(lái)以○表示零，后來(lái)印度的０就傳入了中國(guó)。
   在我們眼里，零的存在是那么自然、簡(jiǎn)潔，但就是這么一個(gè)簡(jiǎn)單的零，卻也有這么一段頗不簡(jiǎn)單的歷史。
                 數(shù)學(xué)中的符號(hào)
　　我們知道，數(shù)學(xué)起源于結(jié)繩記數(shù)和土地測(cè)量。最初，并沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)符號(hào)，符號(hào)是后來(lái)的實(shí)踐中逐漸產(chǎn)生并進(jìn)一步完善的。但是，數(shù)學(xué)符號(hào)一旦產(chǎn)生，就能簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)研究工作，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。所以，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要從數(shù)學(xué)符號(hào)開(kāi)始。阿拉伯?dāng)?shù)字１、２、３、…９、０就是最簡(jiǎn)單，常用的符號(hào)，也就是它們引起了數(shù)學(xué)上的一場(chǎng)革命。
   數(shù)學(xué)家韋達(dá)第一個(gè)把符號(hào)引入數(shù)學(xué)，他用元音字母表示未知量，用輔音字母表示已知量（方程的正系數(shù)）。此前，所有的已知數(shù)都是用具體數(shù)字表達(dá)的，從而限制數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍?，F(xiàn)在的符號(hào)體系是笛卡爾創(chuàng)立的。他提出，用英文字母中前面的字母a、b、c表示已知數(shù)，最后的字母x、y、z表示未知數(shù)。
   符號(hào)的使用推動(dòng)了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。符號(hào)一經(jīng)形成，便成為表述概念，說(shuō)明方法和敘述定理必不可少的工具。建立較好的符號(hào)系統(tǒng)，便于總結(jié)運(yùn)算法則，揭示數(shù)量關(guān)系利于推理。一句話，符號(hào)是數(shù)學(xué)前進(jìn)，發(fā)展，運(yùn)用的工具。
　　數(shù)學(xué)符號(hào)一般有以下幾種：
　?。ǎ保?shù)量符號(hào)：如 ,  , ,ｉ，２＋ ｉ，ａ，ｘ， ，自然對(duì)數(shù)底e，圓周率 。
　　（２）運(yùn)算符號(hào)：如加號(hào)（+），減號(hào)（-），乘號(hào)（×或?），除號(hào)（÷或／），兩個(gè)集合的并集（∪），交集（∩），根號(hào)（ ），對(duì)數(shù)（log，lg，ln），比（∶），微分（d），積分（∫）等。
　　（３）關(guān)系符號(hào)：如“=”是等號(hào)，“≈”或“ ”是近似符號(hào)，“≠”是不等號(hào)，“＞”是大于符號(hào)，“＜”是小于符號(hào)，“ ”表示變量變化的趨勢(shì)，“∽”是相似符號(hào)，“≌”是全等號(hào)，“∥”是平行符號(hào)，“⊥”是垂直符號(hào)，“∝”是正比例符號(hào)，“∈”是屬于符號(hào)等。
　?。ǎ矗┙Y(jié)合符號(hào)：如圓括號(hào)“（）”方括號(hào)“[]”，花括號(hào)“{}”括線“—”B
　?。ǎ担┬再|(zhì)符號(hào)：如正號(hào)“+”，負(fù)號(hào)“-”，絕對(duì)值符號(hào)“‖"
　　（６）省略符號(hào)：如三角形（△），正弦（sin），X的函數(shù)（f(x)），極限（lim），因?yàn)椋ā撸?，所以（∴），總和（∑），連乘（∏），從N個(gè)元素中每次取出R個(gè)元素所有不同的組合數(shù)（C ），冪（aM），階乘（！）等。
數(shù)學(xué)符號(hào)的應(yīng)用，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的重要途徑，愿同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)中學(xué)好符號(hào)，用好符號(hào)。

為什么時(shí)間和角度的單位用六十進(jìn)位制
    時(shí)間的單位是小時(shí)，角度的單位是度，從表面上看，它們完全沒(méi)有關(guān)系?？墒牵瑸槭裁此鼈兌挤殖煞?、秒等名稱相同的小單位呢？為什么又都用六十進(jìn)位制呢？
    我們仔細(xì)研究一下，就知道這兩種量是緊密聯(lián)系著的。原來(lái)，古代人由于生產(chǎn)勞動(dòng)的需要，要研究天文和歷法，就牽涉到時(shí)間和角度了。譬如研究晝夜的變化，就要觀察地球的自轉(zhuǎn)，這里自轉(zhuǎn)的角度和時(shí)間是緊密地聯(lián)系在一起的。因?yàn)闅v法需要的精確度較高，時(shí)間的單位"小時(shí)"、角度的單位"度"都嫌太大，必須進(jìn)一步研究它們的小數(shù)。時(shí)間和角度都要求它們的小數(shù)單位具有這樣的性質(zhì)：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成為它的整數(shù)倍。以1/60作為單位，就正好具有這個(gè)性質(zhì)。譬如：1/2等于30個(gè)1/60，1/3等于20個(gè)1/60，1/4等于15個(gè)1/60……
    數(shù)學(xué)上習(xí)慣把這個(gè)1/60的單位叫做"分"，用符號(hào)"′"來(lái)表示；把1分的1/60的單位叫做"秒"，用符號(hào)"″"來(lái)表示。時(shí)間和角度都用分、秒作小數(shù)單位。
    這個(gè)小數(shù)的進(jìn)位制在表示有些數(shù)字時(shí)很方便。例如常遇到的1/3，在十進(jìn)位制里要變成無(wú)限小數(shù)，但在這種進(jìn)位制中就是一個(gè)整數(shù)。
    這種六十進(jìn)位制（嚴(yán)格地說(shuō)是六十退位制）的小數(shù)記數(shù)法，在天文歷法方面已長(zhǎng)久地為全世界的科學(xué)家們所習(xí)慣，所以也就一直沿用到今天。

"0"是我國(guó)最早創(chuàng)造的
我們知道阿拉伯?dāng)?shù)字１、２、３、４、５、６、７、８、９原是印度人發(fā)明的，１３世紀(jì)后期傳入中國(guó)，人們誤認(rèn)為０也是印度人發(fā)明的。其實(shí)印度起先發(fā)明時(shí)沒(méi)有“０”，他們把“２０４”，寫成“２ ４”，中間空著，把２００４，寫成“２ ４”，怎么區(qū)別中間有幾個(gè)零呢？為了避免看不清，就用點(diǎn)“·”來(lái)表示，２０４寫成“２·４”，那不和小數(shù)混淆了？直到公元８７６年才把“０”確定下來(lái)。
我國(guó)卻在１２４０年前就已創(chuàng)造了“０”，我國(guó)的零，當(dāng)時(shí)是“○”，它是根據(jù)寫字時(shí)缺字用“□”來(lái)表示缺字，“０”表示這個(gè)數(shù)沒(méi)有，或這個(gè)數(shù)位上沒(méi)有，用“○”表示，隨著人們長(zhǎng)期不斷地記數(shù)，慢慢發(fā)展演變，最后確定為今天的“０”。因此以“０”作為零是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的一項(xiàng)杰出貢獻(xiàn)。

米的誕生
在公元1790年之前世界各國(guó)的長(zhǎng)度單位幾乎各不相同，給不同國(guó)家的人們之間相互交流帶來(lái)了很大的麻煩。這時(shí)，法國(guó)的一位科學(xué)家他雷蘭提出了制定一個(gè)世界各國(guó)通用單位的建議。
　　法國(guó)的學(xué)者取得世界各國(guó)的同意，把地球子午線上從北極到赤道的長(zhǎng)度的一千萬(wàn)分之一作為長(zhǎng)度的單位，叫做1米。
當(dāng)時(shí)的科學(xué)技術(shù)還很不發(fā)達(dá)。測(cè)量了整整七年，實(shí)際還只是僅僅測(cè)量了西班牙的巴賽羅納和法國(guó)的敦刻爾克之間的距離。通過(guò)計(jì)算得到了最初的1米。
　　后來(lái)1960年的國(guó)際會(huì)議規(guī)定。一米為氪（K8）原子在真空中發(fā)射的橙色光波波長(zhǎng)的1650763.73倍。

圓周率
圓的周長(zhǎng)與直徑的比。圓周率是一個(gè)常數(shù)，通常用希臘字母π表示。如果設(shè)圓的直徑為1，并把圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)（P6=3）看作是圓周長(zhǎng)的近似值，那么圓周率的近似值就為3。這是我國(guó)古代最早所用的圓周率“徑一周三（即取π≈3）”的來(lái)歷，后人稱為古率。把圓內(nèi)接正六邊形的邊數(shù)加倍，可以得到圓內(nèi)接正十二邊形，再加倍，可以得到圓內(nèi)接正二十四邊形，……。這一些圓內(nèi)接正多邊形，當(dāng)邊數(shù)成倍增長(zhǎng)時(shí)，它們的周長(zhǎng)Pn也不斷增大，越來(lái)越接近于圓的周長(zhǎng)，因此，Pn與直徑的比值也越來(lái)越接近于圓周率準(zhǔn)確值。這種求圓周率的方法稱為“割圓術(shù)”。三國(guó)時(shí)魏人劉徽用割圓術(shù)求得3.141024＜π＜3.1412704。南北朝的祖沖之進(jìn)一步算得 比西方達(dá)到這一結(jié)果要早1100多年。圓周率π是一個(gè)無(wú)理數(shù)，即是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

圓的歷史
古代人最早是從太陽(yáng)，從陰歷十五的月亮得到圓的概念的，那么是什么人作出第一個(gè)圓的呢？
　18000年前的山頂洞人用一種尖狀的石器來(lái)鉆孔，一面鉆不透，再?gòu)牧硪幻驺@。石器的尖是圓心，它的寬度的一半就是半徑，這樣以同一個(gè)半徑和圓心一圈圈地轉(zhuǎn)就可以鉆出一個(gè)圓的孔。
　　到了陶器時(shí)代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個(gè)轉(zhuǎn)盤上制成的。
　　6000年前，半坡人就已經(jīng)會(huì)造圓形的房頂了。
　　古代人還發(fā)現(xiàn)圓的木頭滾著走比較省勁。后來(lái)他們?cè)诎徇\(yùn)重物時(shí)，就把幾段圓木墊在重物的下面滾著走，這樣就比扛著走省勁得多。
　　大約在6000年前，美索不達(dá)米亞人，做出了世界上第一個(gè)輪子——圓的木輪。約在4000年前，人們將圓的木輪固定在木架上，這就成了最初的車子。
　　會(huì)作圓并且真正了解圓的性質(zhì)，卻是在2000多年前，是由我國(guó)的墨子給出圓的概念的：“一中同長(zhǎng)也?！币馑际钦f(shuō)，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等。這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給團(tuán)下定義要早100年。

奇妙的圓形
    圓形，是一個(gè)看來(lái)簡(jiǎn)單，實(shí)際上是很奇妙的圓形。
　　古代人最早是從太陽(yáng)，從陰歷十五的月亮得到圓的概念的。一萬(wàn)八千年前的山頂洞人曾經(jīng)在獸牙、礫石和石珠上鉆孔，那些孔有的就很圓。
    以后到了陶器時(shí)代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個(gè)轉(zhuǎn)盤上制成的。
    當(dāng)人們開(kāi)始紡線，又制出了圓形的石紡綞或陶紡綞。
　　古代人還發(fā)現(xiàn)圓的木頭滾著走比較省勁。后來(lái)他們?cè)诎徇\(yùn)重物的時(shí)候，就把幾段圓木墊在大樹(shù)、大石頭下面滾著走，這樣當(dāng)然比扛著走省勁得多。
　　大約在6000年前，美索不達(dá)米亞人，做出了世界上第一個(gè)輪子--圓的木盤。大約在4000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。
　　會(huì)作圓，但不一定就懂得圓的性質(zhì)。古代埃及人就認(rèn)為：圓，是神賜給人的神圣圖形。一直到兩千多年前我國(guó)的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個(gè)定義："一中同長(zhǎng)也"。意思是說(shuō)：圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等。這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前330-前275年）給圓下定義要早100年。
圓周率，也就是圓周與直徑的比值，是一個(gè)非常奇特的數(shù)。
    《周髀算經(jīng)》上說(shuō)"徑一周三"，把圓周率看成3，這只是一個(gè)近似值。美索不達(dá)來(lái)亞人在作第一個(gè)輪子的時(shí)候，也只知道圓周率是3。
　　魏晉時(shí)期的劉徽于公元263年給《九章算術(shù)》作注。他發(fā)現(xiàn)"徑一周三"只是圓內(nèi)接正六邊形周長(zhǎng)和直徑的比值。他創(chuàng)立了割圓術(shù)，認(rèn)為圓內(nèi)接正多連形邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，周長(zhǎng)就越逼近圓周長(zhǎng)。他算到圓內(nèi)接正3072邊形的圓周率，π= 3927/1250。劉徽已經(jīng)把極限的概念運(yùn)用于解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，這在世界數(shù)學(xué)史上也是一項(xiàng)重大的成就。
　　祖沖之（公元429-500年）在前人的計(jì)算基礎(chǔ)上繼續(xù)推算，求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，是世界上最早的七位小數(shù)精確值，他還用兩個(gè)分?jǐn)?shù)值來(lái)表示圓周率：22/7稱為約率，355/113稱為密率。
　　在歐洲，直到1000年后的十六世紀(jì)，德國(guó)人鄂圖（公元1573年）和安托尼茲才得到這個(gè)數(shù)值。
　　現(xiàn)在有了電子計(jì)算機(jī)，圓周率已經(jīng)算到了小數(shù)點(diǎn)后一千萬(wàn)以上了。

天文與數(shù)學(xué)
有這么一張畫，下面是一只小船，上面是三個(gè)太陽(yáng)。這是什么意思呢？這表示，坐了三天船。太陽(yáng)升落一次，就是一天，所以一天又叫一日。日，是人們認(rèn)識(shí)時(shí)間的基礎(chǔ)。向上，將日積累為月、年、世紀(jì)；向下，將日分為時(shí)、分、秒。為了記載日數(shù)，原始人曾經(jīng)用刀在樹(shù)上刻記號(hào)，過(guò)一天刻上一道。
　　我國(guó)古代很早就發(fā)展了畜牧業(yè)和農(nóng)業(yè)，因此很重視歷法，天文學(xué)非常發(fā)達(dá)。而天文學(xué)只有借助于數(shù)學(xué)才能發(fā)展，因此，很早就開(kāi)始了數(shù)學(xué)的研究。我國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》，是兩千多年前成書(shū)的。它既是一部數(shù)學(xué)著作，也是一部天文學(xué)著作。它總結(jié)了古代勞動(dòng)人民天文學(xué)和數(shù)學(xué)的成就。
　　我國(guó)古代曾經(jīng)用干支記日。十干就是：甲、乙、丙、丁、戍、已、庚、辛、壬、癸。十二支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。將十干和十二支依次循環(huán)組合，就得甲子、乙丑、丙寅、丁卯……直到任戌、癸亥等六十個(gè)數(shù)（現(xiàn)在稱六十甲子）。一個(gè)數(shù)代表一天，從甲子到癸亥，一共六十天，再?gòu)募鬃娱_(kāi)始，周而復(fù)始。例如公元前632年4月4日，爆發(fā)了著名的“城濮大戰(zhàn)”，在《左傳》上記載的是：“夏月己已?！?/SPAN>
　　干支不僅可以記時(shí)和日，也可以用來(lái)記月和年。月，是從月亮來(lái)的。月亮，每晚有變化。不但月出月落時(shí)間上有變化，月亮形狀也有變化；圓了又缺，缺了又圓。這是古代人觀察得到的。從新月在天上出現(xiàn)，一天天過(guò)去了，月亮圓了又缺了，不見(jiàn)了，到下次新月又在天上出現(xiàn)，古代人根據(jù)刻的日子計(jì)算得到，一個(gè)月29天半。（現(xiàn)在知道：一個(gè)朔望月有29日12小時(shí)44分3秒，或29.53日）為了使一個(gè)月的日子是整數(shù)，以后又規(guī)定大月30天，小月29天。
　　《詩(shī)經(jīng)》上說(shuō)：“十月之交，朔日辛卯，日有食之，亦孔之丑?！备鶕?jù)我國(guó)天文學(xué)史家推算：公元前776年10月1日早上7-9點(diǎn)發(fā)生過(guò)日食，這天正是辛卯日。這里的“朔”字是我國(guó)第一次使用的，意思是整晚見(jiàn)不到月亮。
　　計(jì)年的方法比記月的多。如果開(kāi)始計(jì)算的時(shí)候是收獲季節(jié)，過(guò)了12個(gè)多月，地球繞太陽(yáng)走了一圈，果子、谷物又成熟了，那就叫做一年。我國(guó)古代黃河流域的人和古代斯拉夫人都是這么計(jì)算的。埃及的尼羅河每年7月開(kāi)始泛濫，古代埃及人就將兩次泛濫之間的日子稱為一年。美洲印第安人計(jì)算年以初雪為標(biāo)志，澳洲人則根據(jù)雨季計(jì)算。我國(guó)黑龍江一帶的居民，以吃大馬哈魚(yú)作為一年的標(biāo)準(zhǔn)。因?yàn)榇篑R哈魚(yú)定年定時(shí)由海里進(jìn)入黑龍江。這些計(jì)算年的方法當(dāng)然都是很原始，很不精確的。我們現(xiàn)在都知道，地球繞太陽(yáng)一周，也就是一個(gè)太陽(yáng)年，等于365天5小時(shí)48分46秒或365.242194天。如果根據(jù)月亮來(lái)算，一年12個(gè)月卻只有354天或355天，平均差了10天21小時(shí)。一年差10天多，如果過(guò)上兩三年就不得了，這對(duì)游牧民族和農(nóng)業(yè)民族定季節(jié)就大大不利。于是每過(guò)兩三年就增加一個(gè)月，叫做閏月，有閏月的年叫閏年。閏年一年就有384或385天。
　　我國(guó)早在四千年前的夏朝就開(kāi)始制定歷法，所以叫做夏歷。在三千年前，就有十三月的名稱了。到兩千多年前，人們知道了一年等于12又7/19陰歷的月，就采用“19年7閏”的方法設(shè)置閏月。夏歷既是根據(jù)月亮（太陽(yáng)），也根據(jù)太陽(yáng)，所以是陰陽(yáng)歷的一種，兩千多年前秦始皇的時(shí)候（公元前246年）就測(cè)得了一年平均是365又1/4天。它比陰歷優(yōu)越，只是平年和閏年，日數(shù)相差太大了。
　　現(xiàn)在世界通用的公歷（陽(yáng)歷）也經(jīng)過(guò)一個(gè)長(zhǎng)期演變的過(guò)程。我們先看，公歷每個(gè)月的日數(shù)是固定的：“七前單大，八后雙大”。也就是說(shuō)，一、三、五、七、八、十、臘月（十二月）是31天，四、六、九、十一月是30天，只有二月，平年28天，閏年29天。
　　二月平年為什么只有28天？原來(lái)，我們今天用的公歷是從儒略歷變來(lái)的。在公元前46年，羅馬的統(tǒng)帥叫儒略·愷撒。據(jù)說(shuō)他的生日在7月，為了表示他的偉大，于是他決定：將7月叫“儒略月”，連同所有單月都定為31天，雙日定為30天，只有2月平年29天，閏年30天。因?yàn)?月是行刑的月份，所以減少一天。愷撒的繼承人叫奧古斯都，他的生日在8月。偉大人物生日的那個(gè)月只有30天那怎么行？他決定將8月叫“奧古斯都月”，并且將8月、10月、12月都改為31天，9月、11月都改為30天。這一來(lái)不就多了一天嗎？于是又從2月里拿出一天來(lái)。從此2月平年就只有28天，閏年只有29天了。
　　閏年為什么要多一天呢？前面我們說(shuō)過(guò)，地球繞太陽(yáng)一周要365天5小時(shí)48分46秒。為了方便，一年算365天。那么，多出的5小時(shí)多怎么辦呢？人們想，每隔4年，就差不多可以湊上一天了，于是四年一閏，在閏年2月加一天，現(xiàn)在，公歷年數(shù)，凡是能被4整除的，如1984、1988、1992、1996年都定為閏年的?？墒牵瑔?wèn)題還沒(méi)有完，因?yàn)樗哪陮?shí)際上只多了23小時(shí)15分4秒，還差44分56秒。這個(gè)差數(shù)積累400年，又少了3天。也就是說(shuō)，每隔400年要少設(shè)三個(gè)閏年才行。于是又規(guī)定，整百年的數(shù)必須能被400整除才算閏年，否則不算。例如1600、2000、2400才算閏年。1700、1800、1900年都不算閏年。這樣，每400年差的三天就扣出來(lái)了。當(dāng)然，還有一點(diǎn)點(diǎn)差距，但是那只要3000年以后再調(diào)整就行了。

“數(shù)學(xué)”這一名稱的由來(lái)
古希臘人在數(shù)學(xué)中引進(jìn)了名稱，概念和自我思考，他們很早就開(kāi)始猜測(cè)數(shù)學(xué)是如何產(chǎn)生的。雖然他們的猜測(cè)僅是匆匆記下，但他們幾乎先占有了猜想這一思考領(lǐng)域。古希臘人隨意記下的東西在１９世紀(jì)變成了大堆文章，而在２０世紀(jì)卻變成了令人討厭的陳辭濫調(diào)?！　　?/SPAN>
在現(xiàn)存的資料中，希羅多德（Ｈｅｒｏｄｏｔｕｓ，公元前４８４－－４２５年）是第一個(gè)開(kāi)始猜想的人。他只談?wù)摿藥缀螌W(xué)，他對(duì)一般的數(shù)學(xué)概念也許不熟悉，但對(duì)土地測(cè)量的準(zhǔn)確意思很敏感。作為一個(gè)人類學(xué)家和一個(gè)社會(huì)歷史學(xué)家，希羅多德指出，古希臘的幾何來(lái)自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹沒(méi)土地，為了租稅的目的，人們經(jīng)常需要重新丈量土地；他還說(shuō)：希臘人從巴比倫人那里學(xué)會(huì)了日晷儀的使用，以及將一天分成１２個(gè)時(shí)辰。希羅多德的這一發(fā)現(xiàn)，受到了肯定和贊揚(yáng)。認(rèn)為普通幾何學(xué)有一個(gè)輝煌開(kāi)端的推測(cè)是膚淺的。 
　 柏拉圖關(guān)心數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，在他那充滿奇妙幻想的神話故事《費(fèi)德洛斯篇》中，他說(shuō)：
　　故事發(fā)生在古埃及的洛克拉丁（區(qū)域），在那里住著一位老神仙，他的名字叫賽斯（Ｔｈｅｕｔｈ），對(duì)于賽斯來(lái)說(shuō)，朱鷺是神鳥(niǎo)，他在朱鷺的幫助下發(fā)明了數(shù)，計(jì)算、幾何學(xué)和天文學(xué)，還有棋類游戲等。
　　柏拉圖常常充滿了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亞里士多德最后終于用完全概念化的語(yǔ)言談?wù)摂?shù)學(xué)了，即談?wù)摻y(tǒng)一的、有著自己發(fā)展目的的數(shù)學(xué)。在他的《形而上學(xué)》（Ｍｅｔａ－ｐｈｙｓｉｃｓ）第１卷第１章中，亞里士多德說(shuō)：數(shù)學(xué)科學(xué)或數(shù)學(xué)藝術(shù)源于古埃及，因?yàn)樵诠虐＜坝幸慌浪居锌臻e自覺(jué)地致力于數(shù)學(xué)研究。亞里士多德所說(shuō)的是否是事實(shí)還值得懷疑，但這并不影響亞里士多德聰慧和敏銳的觀察力。在亞里士多德的書(shū)中，提到古埃及僅僅只是為了解決關(guān)于以下問(wèn)題的爭(zhēng)論：１．存在為知識(shí)服務(wù)的知識(shí)，純數(shù)學(xué)就是一個(gè)最佳的例子：２．知識(shí)的發(fā)展不是由于消費(fèi)者購(gòu)物和奢華的需要而產(chǎn)生的。亞里士多德這種“天真”的觀點(diǎn)也許會(huì)遭到反對(duì)；但卻駁不倒它，因?yàn)闆](méi)有更令人信服的觀點(diǎn)．
　　就整體來(lái)說(shuō)，古希臘人企圖創(chuàng)造兩種“科學(xué)”的方法論，一種是實(shí)體論，而另一種是他們的數(shù)學(xué)。亞里士多德的邏輯方法大約是介于二者之間的，而亞里士多德自己認(rèn)為，在一般的意義上講他的方法無(wú)論如何只能是一種輔助方法。古希臘的實(shí)體論帶有明顯的巴門尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的輕微影響，實(shí)體論的特征僅在以后的斯多葛派和其它希臘作品的翻譯中才表現(xiàn)出來(lái)。數(shù)學(xué)作為一種有效的方法論遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超越了實(shí)體論，但不知什么原因，數(shù)學(xué)的名字本身并不如“存在”和“理性”那樣響亮和受到肯定。然而，數(shù)學(xué)名稱的產(chǎn)生和出現(xiàn)，卻反映了古希臘人某些富于創(chuàng)造的特性。下面我們將說(shuō)明數(shù)學(xué)這一名詞的來(lái)源。
　　“數(shù)學(xué)”一詞是來(lái)自希臘語(yǔ)，它意味著某種‘已學(xué)會(huì)或被理解的東西’或“已獲得的知識(shí)”，甚至意味著“可獲的東西”，　“可學(xué)會(huì)的東西”，即“通過(guò)學(xué)習(xí)可獲得的知識(shí)”，數(shù)學(xué)名稱的這些意思似乎和梵文中的同根詞意思相同。甚至偉大的辭典編輯人利特雷（Ｅ．Ｌｉｔｔｒｅ　也是當(dāng)時(shí)杰出的古典學(xué)者），在他編輯的法語(yǔ)字典（１８７７年）中也收入了“數(shù)學(xué)”一詞。牛津英語(yǔ)字典沒(méi)有參照梵文。公元１０世紀(jì)的拜占庭希臘字典“Ｓｕｉｄａｓ”中，引出了“物理學(xué)”、“幾何學(xué)”和“算術(shù)”的詞條，但沒(méi)有直接列出“數(shù)學(xué)”—詞?！　?/SPAN>
　　“數(shù)學(xué)”一詞從表示一般的知識(shí)到專門表示數(shù)學(xué)專業(yè)，經(jīng)歷一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程，僅在亞里士多德時(shí)代，而不是在柏拉圖時(shí)代，這一過(guò)程才完成。數(shù)學(xué)名稱的專有化不僅在于其意義深遠(yuǎn)，而在于當(dāng)時(shí)古希臘只有“詩(shī)歌”一詞的專有化才能與數(shù)學(xué)名稱的專有化相媲美?！霸?shī)歌”原來(lái)的意思是“已經(jīng)制造或完成的某些東西”，“詩(shī)歌”一詞的專有化在柏拉圖時(shí)代就完成了。而不知是什么原因辭典編輯或涉及名詞專有化的知識(shí)問(wèn)題從來(lái)沒(méi)有提到詩(shī)歌，也沒(méi)有提到詩(shī)歌與數(shù)學(xué)名稱專有化之間奇特的相似性。但數(shù)學(xué)名稱的專有化確實(shí)受到人們的注意。
　　首先，亞里士多德提出，　“數(shù)學(xué)”一詞的專門化使用是源于畢達(dá)哥拉斯的想法，但沒(méi)有任何資料表明對(duì)于起源于愛(ài)奧尼亞的自然哲學(xué)有類似的思考。其次在愛(ài)奧尼亞人中，只有泰勒斯（公元前６４０？－－５４６年）在“純”數(shù)學(xué)方面的成就是可信的，因?yàn)槌说跉W根尼·拉爾修（Ｄｉｏｇｅｎｅｓ?。蹋幔澹颍簦椋酰螅┖?jiǎn)短提到外，這一可信性還有一個(gè)較遲的而直接的數(shù)學(xué)來(lái)源，即來(lái)源于普羅克洛斯（Ｐｒｏｃｌｕｓ）對(duì)歐幾里得的評(píng)注：但這一可信性不是來(lái)源于亞里士多德，盡管他知道泰勒斯是一個(gè)“自然哲學(xué)家”；也不是來(lái)源于早期的希羅多德，盡管他知道塞利斯是一個(gè)政治、軍事戰(zhàn)術(shù)方面的“愛(ài)好者”，甚至還能預(yù)報(bào)日蝕。以上這些可能有助于解釋為什么在柏拉圖的體系中，幾乎沒(méi)有愛(ài)奧尼亞的成份。赫拉克利特（公元前５００－－？年）有一段名言：“萬(wàn)物都在運(yùn)動(dòng)中，物無(wú)常往”，　“人們不可能兩次落進(jìn)同一條河里”。這段名言使柏拉圖迷惑了，但赫拉克賴脫卻沒(méi)受到柏拉圖給予巴門尼德那樣的尊敬。巴門尼德的實(shí)體論，從方法論的角度講，比起赫拉克賴脫的變化論，更是畢達(dá)哥拉斯數(shù)學(xué)的強(qiáng)有力的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手。
　　對(duì)于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是一種“生活的方式”。事實(shí)上，從公元２世紀(jì)的拉丁作家格利烏斯（Ｇｅｌｌｉｕｓ）和公元３世紀(jì)的希臘哲學(xué)家波菲利（Ｐｏｒｐｈｙｒｙ）以及公元４世紀(jì)的希臘哲學(xué)家揚(yáng)布利科斯（Ｉａｍｂｌｉｃｈｕｓ）的某些證詞中看出，似乎畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)于成年人有一個(gè)“一般的學(xué)位課程”，其中有正式登記者和臨時(shí)登記者。臨時(shí)成員稱為“旁聽(tīng)者”，正式成員稱為“數(shù)學(xué)家”。
　　這里“數(shù)學(xué)家”僅僅表示一類成員，而并不是他們精通數(shù)學(xué)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的精神經(jīng)久不衰。對(duì)于那些被阿基米德神奇的發(fā)明所深深吸引的人來(lái)說(shuō)，阿基米德是唯一的獨(dú)特的數(shù)學(xué)家，從理論的地位講，牛頓是一個(gè)數(shù)學(xué)家，盡管他也是半個(gè)物理學(xué)家，一般公眾和新聞?dòng)浾邔幵赴褠?ài)因斯坦看作數(shù)學(xué)家，盡管他完全是物理學(xué)家。當(dāng)羅吉爾·培根（Ｒｏｇｅｒ　Ｂａｃｏｎ，１２１４－－１２９２年）通過(guò)提倡接近科學(xué)的“實(shí)體論”，向他所在世紀(jì)提出挑戰(zhàn)時(shí)，他正將科學(xué)放進(jìn)了一個(gè)數(shù)學(xué)的大框架，盡管他在數(shù)學(xué)上的造詣是有限的，當(dāng)?shù)芽▋海ǎ模澹螅悖幔颍簦澹螅保担梗叮保叮担澳辏┻€很年輕時(shí)就決心有所創(chuàng)新，于是他確定了“數(shù)學(xué)萬(wàn)能論”的名稱和概念。然后萊布尼茨引用了非常類似的概念，并將其變成了以后產(chǎn)生的“符號(hào)”邏輯的基礎(chǔ)，而２０世紀(jì)的“符號(hào)”邏輯變成了熱門的數(shù)理邏輯。
　　在１８世紀(jì)，數(shù)學(xué)史的先驅(qū)作家蒙托克萊（Ｍｏｎｔｕｃｌａ）說(shuō)，他已聽(tīng)說(shuō)了關(guān)于古希臘人首先稱數(shù)學(xué)為“一般知識(shí)”，這一事實(shí)有兩種解釋：一種解釋是，數(shù)學(xué)本身優(yōu)于其它知識(shí)領(lǐng)域；而另一種解釋是，作為一般知識(shí)性的學(xué)科，數(shù)學(xué)在修辭學(xué)，辯證法，語(yǔ)法和倫理學(xué)等等之前就結(jié)構(gòu)完整了。蒙托克萊接受了第二種解釋。他不同意第一種解釋，因?yàn)樵谄樟_克洛斯關(guān)于歐幾里得的評(píng)注中，或在任何古代資料中，都沒(méi)有發(fā)現(xiàn)適合這種解釋的確證。然而１９世紀(jì)的語(yǔ)源學(xué)家卻傾向于第一種解釋，而２０世紀(jì)的古典學(xué)者卻又偏向第二種解釋。但我們發(fā)現(xiàn)這兩種解釋并不矛盾，即很早就有了數(shù)學(xué)且數(shù)學(xué)的優(yōu)越性是無(wú)與倫比的。

數(shù)的發(fā)展
計(jì)數(shù)方法的出現(xiàn)
　　一般說(shuō)來(lái)，最古老的數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)從人類把大小、形狀和數(shù)的概念系統(tǒng)化方面所作的最初的也是最基本的努力算起。因此，有數(shù)的概念和懂得計(jì)數(shù)方法的原始人的出現(xiàn)可以看作是數(shù)學(xué)的第一起點(diǎn)！
　　數(shù)的概念和計(jì)數(shù)方法還在有文字記載以前就發(fā)展起來(lái)了。但是，關(guān)于這些數(shù)學(xué)的發(fā)展方式則多半來(lái)源于揣測(cè)。人類的在最原始的時(shí)代就有了數(shù)的意識(shí)，至少在為數(shù)不多的一些東西中增加幾個(gè)或從中取出幾個(gè)時(shí)，能夠辨認(rèn)其多寡。隨著逐步進(jìn)化，簡(jiǎn)單的計(jì)算成為了生產(chǎn)和生活中必不可少的活動(dòng)。一個(gè)部落首領(lǐng)必須知道自己的部落有多少成員、有多少敵人；一個(gè)人需要知道他羊群里的羊是否少了?；蛟S最早的計(jì)數(shù)方法是使用簡(jiǎn)單算籌以一一對(duì)應(yīng)的原則來(lái)進(jìn)行的。例如，當(dāng)數(shù)羊的只數(shù)時(shí)，每有一只羊就扳一個(gè)指頭。顯然，古人也能夠使用一些簡(jiǎn)單的方法計(jì)數(shù)，例如集攢小石子或小木棍；在土塊或石頭上刻道或在木頭上刻槽；或在繩上打結(jié)，作為對(duì)應(yīng)于為數(shù)不多的東西的數(shù)目的語(yǔ)言符合。以后，隨著書(shū)寫方式的改變，逐漸形成了一族代表這些數(shù)目的書(shū)寫符號(hào)。
　　在語(yǔ)言計(jì)數(shù)的較早階段，即使是同樣的數(shù)字，但如果實(shí)際物體不同，表示方法也大不一樣。例如，對(duì)于兩只羊和兩個(gè)人所用的語(yǔ)音詞是不同的。例如，在英語(yǔ)中有team of horse表示共同拉車，拉犁的兩匹馬，yoke of oxen共扼的兩頭牛，brace of partridge一對(duì)鷓鴣，pair of shoes一雙鞋。把2種共同性質(zhì)加以抽象，并采用與任何具體事物都無(wú)關(guān)的某個(gè)語(yǔ)音來(lái)代表它，或許人類經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間以后才實(shí)現(xiàn)的，雖然在今天看來(lái)，這是如此的簡(jiǎn)單。
計(jì)數(shù)方法的系統(tǒng)化
　　隨著社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展，更為廣泛的計(jì)數(shù)成為了生活和生產(chǎn)的必需。要完成這樣復(fù)雜的計(jì)數(shù)就必須將計(jì)數(shù)的方法系統(tǒng)化。

　　古人采取的方法是這樣的：把數(shù)目排列成便于考慮的基本群；群的大小多半以所用的匹配方式而定。也就是說(shuō)：選取某一數(shù)b作為計(jì)數(shù)的基（base）也叫記數(shù)根（radix）或進(jìn)位制（scale）并定出數(shù)目1，2，3……b的名稱。這時(shí)，大于b的數(shù)目用已選定名稱的數(shù)目的組合表示。
　　由于人的手指提供了一個(gè)方便的匹配工具，所以，人們大多選用10個(gè)數(shù)作為數(shù)基b，這是不奇怪的。例如，考慮我們現(xiàn)在用的數(shù)詞，它們就是以10為基而形成的。1，2，……10這十個(gè)數(shù)，英語(yǔ)中均有基特殊的名稱：one,two,…… ten。當(dāng)我們數(shù)到十一時(shí)，我們說(shuō)"eleven"11；語(yǔ)言學(xué)家告訴我們，它是從ein lifon導(dǎo)出的意思是剩下或比10多1。類似地，twelve（12）是從twe lif比10多2導(dǎo)出的；還有，thirteen13，即3和10；fourteen14，即4和10；一直到nineteen19，即9和10。然后有twenty20，即twe-tig，或兩個(gè)10。Twenty-one（兩個(gè)10和1）等等。
　　有證據(jù)表明：2，3和4也曾被當(dāng)作原始的數(shù)基。例如，澳洲東部昆士蘭的土人就是這么計(jì)數(shù)的："1，2，2和1，兩個(gè)2，多"一些非洲矮人以1，2，3，4，5和6就是這么計(jì)教的："a,oa,ua,oa-oa,oa-oa-a, 和oa-oa-oa。"阿根廷火地島的某部落，頭幾個(gè)數(shù)的名稱，就是以3為基的；與此相似，南美的一些部落用4為基。
　　可以設(shè)想：五進(jìn)制即以5為基的數(shù)系，是最初用得很廣泛的計(jì)數(shù)法。到現(xiàn)在，一些南美的部落還是用手計(jì)數(shù)-"1，2，3，4，手，手和1"等等。西伯利亞的尤卡吉爾人用的是混合基計(jì)數(shù)法："1，2，3，3和1，5，兩個(gè)3，多1個(gè)，兩個(gè)4，10去1，10。"德國(guó)農(nóng)民日歷，一直到1800年還以5為數(shù)基。
　　也有證據(jù)表明，在有史以前12曾被用作數(shù)基，即采用十二進(jìn)制，這主要與量度有關(guān)，使用這樣的一個(gè)數(shù)基，可能是由于一年大約有12年朔望月；也可能是上于12能被許多整數(shù)整除。例如，1英尺是12英寸，古代的一英磅是12盎斯，1先令是12便士，1英寸是12英分，鐘有12個(gè)小時(shí)，一年有12個(gè)月。Dozen（打），gross（籮）這些詞在英語(yǔ)中還用作更高級(jí)的單位。（一打是12個(gè)，一籮是12打）。
　　二十進(jìn)制即以20為基的數(shù)系，曾被廣泛應(yīng)用，它使用人想起人類的赤腳時(shí)代。這種計(jì)數(shù)法，曾經(jīng)由美洲印第安人使用，并以其用于高度發(fā)達(dá)的瑪雅（Maya）數(shù)系中而著稱。法語(yǔ)中用quartevingt四個(gè)20代替huitante80，用quatre-vingt-dix四個(gè)20加10代替nonante90，從這里可以看出克爾特人以20為基數(shù)的痕跡。在蓋爾人、丹麥人和威爾士人的語(yǔ)言中也能發(fā)現(xiàn)這種痕跡。格陵蘭使用 "一個(gè)人"代表20，"兩個(gè)人"代表40等等。英國(guó)人也常用score20這個(gè)字。
　　古代巴比倫人用六十進(jìn)位制，即以60為基的數(shù)系，直到現(xiàn)在，當(dāng)以分、秒為單位計(jì)量時(shí)間和角度時(shí)，六十進(jìn)位制仍被廣泛使用。
手指記數(shù)
　　在遙遠(yuǎn)的古代，除了口頭上說(shuō)的數(shù)以外，手指數(shù)（finger nrmber）在也曾被廣泛應(yīng)用。事實(shí)上，用手指和手的不同位置表示數(shù)，應(yīng)該比使用數(shù)的符號(hào)或數(shù)的名稱還早。例如，最早的表示1，2，3和4的書(shū)寫符號(hào)是適當(dāng)數(shù)目的豎的或橫的筆劃，它們堅(jiān)起平伸的手指數(shù)目；digit（即手指）這個(gè)詞也可以用來(lái)表示數(shù)字（從1到9），這也能追溯到同一來(lái)源。

　　有一段時(shí)間，手指數(shù)曾被擴(kuò)展到包括出現(xiàn)在商業(yè)交易中的最大的數(shù)，并且在中世紀(jì)就已為國(guó)際通用。發(fā)展到后來(lái)，1，2，……和10，20……90這些數(shù)用左手來(lái)表示，100，200……900和1，000，……9，000，這些數(shù)用右手來(lái)表示。用這種方法，10，000以內(nèi)的任何數(shù)都能用兩只手表示。
　　手指數(shù)的樣式，在文藝復(fù)興時(shí)期的算術(shù)書(shū)上有記載。例如，用左手，部分屈折的小指表示1，部分屈折的小指和無(wú)名指表示2，部分屈折的小指、無(wú)名指和中指表示3，屈折中指和無(wú)名指表示4，屈折的中指表示5，屈折的無(wú)名指表示6，完全屈折的小指表示7，完全屈折的小指和無(wú)名指表示8，完全屈折的小指、無(wú)名指和中批表示9。
　　雖然手指數(shù)起源于很古老的年代，在今天，在非洲的某些原始種族中，在阿拉伯人中，在伊朗人中仍被采用。在北美和南美，某此本地的印第安人和愛(ài)斯基摩人的部落中仍然采用手指數(shù)。
記錄工具的出現(xiàn)
　　數(shù)字的記錄和長(zhǎng)期保存離不開(kāi)記錄的工具。但是，記錄工具的發(fā)明和改進(jìn)是一個(gè)非常漫長(zhǎng)的過(guò)程。我們現(xiàn)在常用的機(jī)器制造的紙張只有100多年的歷史。以前的手工制作的紙是非常昂貴和難以得到的，即使是這種紙也是在十二世紀(jì)才傳到歐洲，雖然聰明的中國(guó)古人早在一千多年前，就已經(jīng)掌握了這一門技術(shù)。
　　但是，古人為了滿足自己記錄的需要，也想辦法創(chuàng)造了一些工具。一種早期類似紙的書(shū)寫材料，稱為紙草片（Papyrus），是古代埃及人發(fā)明的，而且，公元前650年左右，已經(jīng)傳入希臘。它是一種叫做紙草（papu）的蘆葦做的。把蘆葦?shù)那o切成一條條細(xì)長(zhǎng)的薄片，并排合成一張，一層層地往上放，完全用水浸濕，再將水?dāng)D壓出來(lái)，然后放到太陽(yáng)地里曬干。也許由于植物中天然膠質(zhì)，幾層粘到一起了。在紙草片干了以后，再用圓的硬東西用力把它們壓平衡，這樣就能書(shū)寫了。用紙草片打草稿，就是一小片，也要花不少錢。
　　另一種早期的書(shū)寫材料是羊皮紙，是用動(dòng)物（通常是羊和羊羔）皮做的。自然，這是稀有和難得的。更昂貴的是一種用牛犢皮做的仿羊皮紙，稱做犢皮紙。事實(shí)上，羊皮紙已經(jīng)是非常昂貴的了。以致中世紀(jì)出現(xiàn)一種習(xí)慣：洗去老羊皮手稿上的墨跡，然后再用。這樣的手稿，現(xiàn)在被稱做重寫羊皮紙。有這樣的情況：在若干年后，重寫羊皮文件上最初寫的原稿又模糊地出現(xiàn)了。一些有趣的"修復(fù)"就是這樣做成的。
　　大約兩千年以前，羅馬人書(shū)寫用品是涂上薄薄一層蠟的小木板和一支硬筆。在羅馬帝國(guó)之前和羅馬帝國(guó)時(shí)代，常用沙盤進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和畫幾何圖形。要推測(cè)更早的記錄工具，也并不困難。因?yàn)?，毫無(wú)疑問(wèn)，人們很早就用石頭和粘土做書(shū)寫記錄了。
印度和阿拉伯?dāng)?shù)系
　　我們現(xiàn)在常用的數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)，是印度-阿拉伯?dāng)?shù)系。之所以用印度和阿拉伯命名，是因?yàn)樗赡苁怯《热税l(fā)明的，又由阿拉伯人傳到西歐的。
　　目前，保存下來(lái)現(xiàn)在所用的數(shù)字符號(hào)的最早樣品是印度的一些石柱上發(fā)現(xiàn)的，這些石柱是公元前250左右烏索庫(kù)王建造的。至于其它在印度的早期樣品，如果解釋正確的話，則是從大約公元前100暝誑拷幟潛叩囊蛔繳系囊ざ辭繳峽滔碌募鍬賈瀉痛喲笤脊?00年在納西克窯洞中刻下的一些碑文中發(fā)現(xiàn)。這些早期樣本中既沒(méi)有零，也沒(méi)有采用位置記號(hào)。但是，考古學(xué)家推測(cè)，位置值（positional value）和零，必定是公元800年以前的某個(gè)時(shí)刻傳到印度的，因?yàn)椴ㄋ箶?shù)學(xué)家花拉子密在公元825年寫的一本書(shū)中描述過(guò)這樣一種完整的印度數(shù)系。
　　這些新的數(shù)字符號(hào)，最初是在"何時(shí)"和"如何"引進(jìn)歐洲的，即使到了現(xiàn)在也還沒(méi)有弄清：但是考古學(xué)家認(rèn)為，這些符號(hào)十之八九是由地中海沿岸的商人和旅行家們帶過(guò)來(lái)的。在十世紀(jì)西班牙書(shū)稿中就發(fā)現(xiàn)有這些符號(hào)，它們可能是由阿拉伯人傳到西班牙的。阿拉伯人在公元711年侵入了這個(gè)半島，直到1492年還在那里。通過(guò)花拉子密的專著的十二世紀(jì)拉丁文譯本以及后來(lái)歐洲人的有關(guān)著作，這一完整的數(shù)系得到廣泛的傳播。
　　在十世紀(jì)以后的四百年中，提倡這數(shù)系的珠算家與算法家展開(kāi)了競(jìng)爭(zhēng)，到公元1500年左右，我們現(xiàn)有的計(jì)算規(guī)則獲得優(yōu)勢(shì)。在這以后的一百年中，珠算家?guī)缀醣蝗诉z忘，到了十八世紀(jì)在西歐就見(jiàn)不到算盤的蹤跡了。算盤作為一個(gè)奇妙的東西再次出現(xiàn)于歐洲，是法國(guó)幾何學(xué)家J·V·蓬斯菜（Poncelet）在拿破侖計(jì)伐俄國(guó)的戰(zhàn)爭(zhēng)中當(dāng)了俘擄，被釋放后，把一個(gè)算盤的樣品帶回了法國(guó)。
　　印度-阿拉伯?dāng)?shù)系中的數(shù)字符號(hào)曾多次變異，只是由于印刷業(yè)的發(fā)展，才開(kāi)始穩(wěn)定下來(lái)的。英語(yǔ)中的zero（零）這個(gè)詞可能是從阿拉伯文sifr的拉丁化形式zephirum演變過(guò)來(lái)的；而阿拉伯文 sifr又是從印度文中表示"無(wú)"和"空"的詞sunya翻譯過(guò)來(lái)。阿拉伯文sifr在十三世紀(jì)由奈莫拉里烏斯（Nemorarius）引進(jìn)到德國(guó)，寫作cifra，由此我們得到現(xiàn)在的字cipher（零）。

人身上的尺子
我們每個(gè)人身上都攜帶著幾把尺子。假如你“一拃”的長(zhǎng)度為8厘米，量一下你課桌的長(zhǎng)為7拃，則可知課桌長(zhǎng)為56厘米。如果你每步長(zhǎng)65厘米，你上學(xué)時(shí)，數(shù)一數(shù)你走了多少步，就能算出從你家到學(xué)校有多遠(yuǎn)。身高也是一把尺子。如果你的身高是150厘米，那么你抱住一棵大樹(shù)，兩手正好合攏，這棵樹(shù)的一周的長(zhǎng)度大約是150厘米。因?yàn)槊總€(gè)人兩臂平伸，兩手指尖之間的長(zhǎng)度和身高大約是一樣的。要是你想量樹(shù)的高，影子也可以幫助你的。你只要量一量樹(shù)的影子和自己的影子長(zhǎng)度就可以了。因?yàn)闃?shù)的高度＝樹(shù)影長(zhǎng)×身高÷人影長(zhǎng)。這是為什么？等你學(xué)會(huì)比例以后就明白了。你若去游玩，要想知道前面的山距你有多遠(yuǎn)，可以請(qǐng)聲音幫你量一量。聲音每秒能走331米，那么你對(duì)著山喊一聲，再看幾秒可聽(tīng)到回聲，用331乘聽(tīng)到回聲的時(shí)間，再除以2就能算出來(lái)了。學(xué)會(huì)用你身上這幾把尺子，對(duì)你計(jì)算一些問(wèn)題是很有好處的。同時(shí)，在你的日常生活中，它也會(huì)為你提供方便的。

為什么電子計(jì)算機(jī)要用二進(jìn)制
由于人的雙手有十個(gè)手指，人類發(fā)明了十進(jìn)位制記數(shù)法。然而，十進(jìn)位制和電子計(jì)算機(jī)卻沒(méi)有天然的聯(lián)系，所以在計(jì)算機(jī)的理論和應(yīng)用中難以暢通無(wú)阻。究竟為什么十進(jìn)位制和計(jì)算機(jī)沒(méi)有天然的聯(lián)系？和計(jì)算機(jī)聯(lián)系最自然的記數(shù)方法又是什么呢?
    這要從計(jì)算機(jī)的工作原理說(shuō)起。計(jì)算機(jī)的運(yùn)行要靠電流，對(duì)于一個(gè)電路節(jié)點(diǎn)而言，電流通過(guò)的狀態(tài)只有兩個(gè)：通電和斷電。計(jì)算機(jī)信息存儲(chǔ)常用硬磁盤和軟磁盤，對(duì)于磁盤上的每一個(gè)記錄點(diǎn)而言，也只有兩個(gè)狀態(tài)：磁化和未磁化。近年來(lái)用光盤記錄信息的做法也越來(lái)越普遍，光盤上海一個(gè)信息點(diǎn)的物理狀態(tài)有兩個(gè)：凹和凸，分別起著聚光和散光的作用。由此可見(jiàn)，計(jì)算機(jī)所使用的各種介質(zhì)所能表現(xiàn)的都是兩種狀態(tài)，如果要記錄十進(jìn)位制的一位數(shù)，至少要有四個(gè)記錄點(diǎn)（可有十六個(gè)信息狀態(tài)），但此時(shí)又有六個(gè)信息狀態(tài)閑置，這勢(shì)必造成資源和資金的大量浪費(fèi)。因此，十進(jìn)位制不適合于作為計(jì)算機(jī)工作的數(shù)字進(jìn)位制。那么該用什么樣的進(jìn)位制呢？人們從十進(jìn)位制的發(fā)明中得到啟示：既然每種介質(zhì)都是具有兩個(gè)狀態(tài)的，最自然的進(jìn)位制當(dāng)然是二進(jìn)位制。
    二進(jìn)位制所需要的記數(shù)的基本符號(hào)只要兩個(gè)，即0和1。可以用1表示通電，0表示斷電；或1表示磁化，0表示未磁化；或1表示凹點(diǎn)，0表示凸點(diǎn)?？傊M(jìn)位制的一個(gè)數(shù)位正好對(duì)應(yīng)計(jì)算機(jī)介質(zhì)的一個(gè)信息記錄點(diǎn)。用計(jì)算機(jī)科學(xué)的語(yǔ)言，二進(jìn)位制的一個(gè)數(shù)位稱為一個(gè)比特（bit），8個(gè)比特稱為一個(gè)字節(jié)（byte）。
    二進(jìn)位制在計(jì)算機(jī)內(nèi)部使用是再自然不過(guò)的。但在人機(jī)交流上，二進(jìn)位制有致命的弱點(diǎn)——數(shù)字的書(shū)寫特別冗長(zhǎng)。例如，十進(jìn)位制的100000寫成二進(jìn)位制成為11000011010100000。為了解決這個(gè)問(wèn)題，在計(jì)算機(jī)的理論和應(yīng)用中還使用兩種輔助的進(jìn)位制——八進(jìn)位制和十六進(jìn)位制。二進(jìn)位制的三個(gè)數(shù)位正好記為八進(jìn)位制的一個(gè)數(shù)位，這樣，數(shù)字長(zhǎng)度就只有二進(jìn)位制的三分之一，與十進(jìn)位制記的數(shù)長(zhǎng)度相差不多。例如，十進(jìn)位制的100000寫成八進(jìn)位制就是303240。十六進(jìn)位制的一個(gè)數(shù)位可以代表二進(jìn)位制的四個(gè)數(shù)位，這樣，一個(gè)字節(jié)正好是十六進(jìn)位制的兩個(gè)數(shù)位。十六進(jìn)位制要求使用十六個(gè)不同的符號(hào)，除了0—9十個(gè)符號(hào)外，常用A、B、C、D、E、F六個(gè)符號(hào)分別代表（十進(jìn)位制的）10、11、12、13、14、15。這樣，十進(jìn)位制的100000寫成十六進(jìn)位制就是186A0。 
    二進(jìn)位制和八進(jìn)位制、二進(jìn)位制和十六進(jìn)位制之間的換算都十分簡(jiǎn)便，而采用八進(jìn)位制和十六進(jìn)位制又避免了數(shù)字冗長(zhǎng)帶來(lái)的不便，所以八進(jìn)位制、十六進(jìn)位制已成為人機(jī)交流中常用的記數(shù)法。

一、百年前的講演
　　一個(gè)世紀(jì)前，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特（1862—1943）在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了題為《 數(shù)學(xué)問(wèn)題》的著名講演。這是載入數(shù)學(xué)史冊(cè)的重要講演。他在講演的前言和結(jié)束語(yǔ)中，對(duì)數(shù) 學(xué)的意義、源泉、發(fā)展過(guò)程及研究方法等發(fā)表了許多精辟的見(jiàn)解。而整個(gè)講演的主體，則是 他根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì)而提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這些問(wèn)題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的 許多重要領(lǐng)域。100年來(lái)，這些問(wèn)題一直激發(fā)著數(shù)學(xué)家們濃厚的研究興趣。100年過(guò)去了，這 些問(wèn)題近一半已經(jīng)解決或基本解決，還有些問(wèn)題雖取得了重大進(jìn)展，但尚未最后解決，如黎 曼猜想、哥德巴赫猜想等。
　　100年過(guò)去了，現(xiàn)在回過(guò)頭來(lái)看，對(duì)希爾伯特提出的23個(gè)問(wèn)題，有不少評(píng)論。很多人認(rèn) 為，這些問(wèn)題對(duì)推動(dòng)20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了很大的作用，當(dāng)然也有評(píng)論曾指出其不足之處， 例如，這23個(gè)問(wèn)題中未能包括拓樸學(xué)、微分幾何等在20世紀(jì)成為前沿學(xué)科領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)問(wèn)題 ，除數(shù)學(xué)物理外很少涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)，等等，當(dāng)然更不會(huì)想到20世紀(jì)電腦的大發(fā)展及其對(duì)數(shù)學(xué) 的重大影響。20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展實(shí)際上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了希爾伯特所預(yù)示的范圍。
　　希爾伯特是19世紀(jì)和20世紀(jì)數(shù)學(xué)交界線上高聳著的三位偉大數(shù)學(xué)家之一，另兩位是龐加 萊（1854—1912）及克萊因（1849—1925）。他們的數(shù)學(xué)思想及對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，既反射出19 世紀(jì)數(shù)學(xué)的光輝，也照耀著20世紀(jì)數(shù)學(xué)前進(jìn)的道路。
　　希爾伯特是在上一次世紀(jì)交替之際作講演的，現(xiàn)在又一個(gè)新的世紀(jì)開(kāi)始了，再來(lái)看看他 的講演，其中一些話仍然適用，例如在講演一開(kāi)始，他說(shuō)：“我們當(dāng)中有誰(shuí)不想揭開(kāi)未來(lái)的 帷幕，看一看在今后的世紀(jì)里我們這門科學(xué)發(fā)展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要數(shù)學(xué)思 潮將追求什么樣的特殊目標(biāo)？在廣闊而豐富的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)域，新世紀(jì)將會(huì)帶來(lái)什么樣的新方 法和新成果？”他還說(shuō)：“歷史教導(dǎo)我們，科學(xué)的發(fā)展具有連續(xù)性。我們知道，每個(gè)時(shí)代都 有它自己的問(wèn)題，這些問(wèn)題后來(lái)或者得以解決，或者因?yàn)闊o(wú)所裨益而被拋到一邊并代之以新 的問(wèn)題。因?yàn)橐粋€(gè)偉大時(shí)代的結(jié)束，不僅促使我們追溯過(guò)去，而且把我們的思想引向那未知 的將來(lái)。”
　　20世紀(jì)無(wú)疑是一個(gè)數(shù)學(xué)的偉大時(shí)代，21世紀(jì)的數(shù)學(xué)將會(huì)更加輝煌?！懊總€(gè)時(shí)代都有它自 己的問(wèn)題”，20世紀(jì)來(lái)臨時(shí)，希爾伯特提出了他認(rèn)為是那個(gè)世紀(jì)的23個(gè)問(wèn)題。這些問(wèn)題對(duì)20 世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了很大的推動(dòng)作用，但20世紀(jì)數(shù)學(xué)的成就卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出他所提出的問(wèn)題。那 么21世紀(jì)的問(wèn)題又是什么呢？希爾伯特在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出這些問(wèn)題時(shí)，才38歲， 但已經(jīng)是當(dāng)時(shí)舉世公認(rèn)的德高望重的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家之一。大家知道，2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)將 在中國(guó)北京召開(kāi)，這是國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)第一次在發(fā)展中國(guó)家召開(kāi)，那么在這新舊世紀(jì)交替之 際，會(huì)不會(huì)有像希爾伯特這樣具有崇高威望的人在會(huì)上提出他認(rèn)為的21世紀(jì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題或是 以其他的形式展望21世紀(jì)的數(shù)學(xué)？這些年來(lái)，已有不少數(shù)學(xué)家提出自己認(rèn)為的21世紀(jì)的數(shù)學(xué) 問(wèn)題，但往往是“仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智”。
　　二、百年前講演的啟示
　　對(duì)希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題，不在這里介紹了，因?yàn)樗搅酥袑W(xué)數(shù)學(xué)的范圍。但百年前， 希爾伯特演講中對(duì)數(shù)學(xué)的一些見(jiàn)解卻是非常深刻的，百年過(guò)去了，重讀他的演講，依然得到 很多啟示。在這里我只想講一講對(duì)他演講中一段話的粗淺認(rèn)識(shí)。
　　從17世紀(jì)60年代微積分發(fā)明以來(lái)，數(shù)學(xué)得到了極大的發(fā)展，分支也愈來(lái)愈多。開(kāi)始時(shí)一 些大數(shù)學(xué)家對(duì)各個(gè)分支都懂，并且做出了很大的貢獻(xiàn)。但后來(lái)數(shù)學(xué)的分支愈分愈細(xì)，全面懂 得各個(gè)分支的數(shù)學(xué)家愈來(lái)愈少，到19世紀(jì)末，希爾伯特作講演時(shí)，已經(jīng)是這種情況。于是在 講演中，他說(shuō)了這樣一段話：“然而，我們不禁要問(wèn)，隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷擴(kuò)展，單個(gè)的研 究者想要了解這些知識(shí)的所有部門豈不是變得不可能了嗎？為了回答這個(gè)問(wèn)題，我想指出： 數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著，這些工具和 方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊，數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種 特點(diǎn)是根深蒂固的。因此，對(duì)于個(gè)別的數(shù)學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，只要掌握了這些有力的工具和簡(jiǎn)單 的方法，他就有可能在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中比其他科學(xué)更容易地找到前進(jìn)的道路?！?00年過(guò) 去了，數(shù)學(xué)發(fā)展得更為廣闊與深入，分支愈來(lái)愈多，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已有60個(gè)二級(jí)學(xué)科、400多個(gè) 三級(jí)學(xué)科，所以希爾伯特的這段話現(xiàn)在顯得更為重要。不僅如此，希爾伯特的這段話實(shí)際上 講的是數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史過(guò)程，十分深刻地揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展是一個(gè)新陳代謝、吐故納新的過(guò)程 ，是一些新的有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)，與一些陳舊的、復(fù)雜的東西被拋棄的過(guò)程 ，是“高級(jí)”的數(shù)學(xué)替代“低級(jí)”的數(shù)學(xué)的過(guò)程，而“數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種特點(diǎn)是根深蒂固 的”。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)的歷史中，一些新的有力的工具、更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)，往往標(biāo)志著 一個(gè)或多個(gè)數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，標(biāo)志著一些老的分支的衰落甚至結(jié)束。
　　回顧一下我們從小開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，就是在重復(fù)這個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程。一些數(shù)學(xué)雖 然后來(lái)被更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法所產(chǎn)生的新的數(shù)學(xué)所替代了，即“低級(jí)”的被“高級(jí) ”的所替代了，但在人們一生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，卻不能只學(xué)習(xí)“高級(jí)”的，而完全不學(xué)習(xí) “低級(jí)”的，完全省略掉學(xué)習(xí)“低級(jí)”的過(guò)程。這是因?yàn)槿藗冸S著年齡的不斷增長(zhǎng)，學(xué)習(xí)與 他的年齡與智力相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)才是最佳選擇。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，沒(méi)有“低級(jí)” 的數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)，很難理解與學(xué)習(xí)好“高級(jí)”的數(shù)學(xué)。
　　以下我們從希爾伯特講演中這一段精辟的論述的角度來(lái)認(rèn)識(shí)我們的中小學(xué)的數(shù)學(xué)課程。 我只是從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史的角度來(lái)討論問(wèn)題，為大家從數(shù)學(xué)教育的角度來(lái)討論問(wèn)題作參考。 但我必須強(qiáng)調(diào)的是：從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史的角度來(lái)考慮問(wèn)題與從數(shù)學(xué)教育的角度來(lái)考慮問(wèn)題雖 有聯(lián)系，但兩者是不一樣的。
　　三、算術(shù)與代數(shù)
　　人類有數(shù)的概念，與人類開(kāi)始用火一樣古老，大約在30萬(wàn)年前就有了，但是有文字記載 的數(shù)到公元前3400年左右才出現(xiàn)，至于數(shù)的四則運(yùn)算則更晚。在我國(guó)，《九章算術(shù)》是古代 數(shù)學(xué)最重要的著作，是從先秦到西漢中葉的眾多學(xué)者不斷修改、補(bǔ)充而成的一部數(shù)學(xué)著作。 在這本書(shū)中有分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則、比例算法、盈不足術(shù)、解三元線性代數(shù)方程組、正負(fù)數(shù) 、開(kāi)方以及一些計(jì)算幾何圖形的面積與體積的方法等。在西方，也或遲或早地出現(xiàn)了這些內(nèi) 容，而這些內(nèi)容包括我們從小學(xué)一直到中學(xué)所學(xué)習(xí)“算術(shù)”課程的全部?jī)?nèi)容。也就是說(shuō)人類 經(jīng)過(guò)了幾千年才逐步弄明白建立起來(lái)的“算術(shù)”的內(nèi)容，現(xiàn)在每個(gè)人在童年時(shí)代花幾年就全 部學(xué)會(huì)了。對(duì)于“算術(shù)”來(lái)講，“真正的進(jìn)展”是由于“更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā) 現(xiàn)”，這個(gè)工具與方法是“數(shù)字符號(hào)化”，從而產(chǎn)生了另一門數(shù)學(xué)“代數(shù)”，即現(xiàn)在中學(xué)中 的“代數(shù)”課程的內(nèi)容。在我國(guó)，約13世紀(jì)五六十年代的著作中，有“天元術(shù)”和“四元術(shù) ”，也就是相當(dāng)于現(xiàn)在用x,y,z,w來(lái)表述四個(gè)未知數(shù)。有了這些“元”，也就可以解一些代 數(shù)方程與聯(lián)立線性代數(shù)方程組了。西方徹底完成數(shù)字符號(hào)化是在16世紀(jì)。現(xiàn)在中學(xué)學(xué)習(xí)的“ 代數(shù)”的內(nèi)容包括：一元二次方程的解，多元（一般為二元、三元，至多四元）聯(lián)立方程組 的解，等等。當(dāng)然在“數(shù)字符號(hào)化”之前，一元二次方程的解、多元聯(lián)立方程組的解已經(jīng)出 現(xiàn)，例如我國(guó)古代已經(jīng)有一些解一般數(shù)字系數(shù)的代數(shù)方程的“算法程序”，但這些都是用文 字來(lái)表達(dá)的，直到“數(shù)字符號(hào)化”之后，才出現(xiàn)了現(xiàn)在中學(xué)代數(shù)內(nèi)容的表達(dá)形式。
　　由“數(shù)字符號(hào)化”而產(chǎn)生的中學(xué)“代數(shù)”的內(nèi)容，的的確確是“數(shù)學(xué)中真正的進(jìn)展”。 “代數(shù)”的確是“更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法”，“算術(shù)”顧名思義，可以理解為“計(jì)算 的方法”，而“代數(shù)”可以理解為“以符號(hào)替代數(shù)字”，即“數(shù)字符號(hào)化”。人類從“算術(shù) ”走向“代數(shù)”經(jīng)歷了1000多年。但在中學(xué)的課程中，卻只花短短的幾年，就可以全部學(xué)會(huì) 這些內(nèi)容。
　　回憶我在童年時(shí)代，在小學(xué)學(xué)習(xí)“算術(shù)”課程時(shí)，感到很難。例如求解“雞兔同籠”題 ，當(dāng)時(shí)老師講的求解的方法，現(xiàn)在已完全記不得了，留下的印象是感到很難，而且納悶的是 ：雞與兔為何要關(guān)在一個(gè)籠子里？既然數(shù)得清有多少個(gè)頭及多少只腳，為何數(shù)不清有多少只 雞與多少只兔？等到初中時(shí)學(xué)習(xí)了“代數(shù)”課程，才恍然大悟，這不過(guò)是二元一次聯(lián)立代數(shù) 方程組，解方程組十分簡(jiǎn)單方便，這不僅可以用來(lái)解“雞兔同籠”，即使“鴨狗同室”的問(wèn) 題一樣可以解。因此，“代數(shù)”顯然比“算術(shù)”來(lái)得“高級(jí)”，這的確是“更有力的工具和 更簡(jiǎn)單的方法”，而這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論，并把“陳舊的、復(fù)雜的 東西拋到一邊”，也就是從“代數(shù)”的角度來(lái)理解“算術(shù)”，可以理解得更深刻，且可以把 “算術(shù)”中一些復(fù)雜的、處理個(gè)別問(wèn)題的方法拋到一邊去。
　　在這里，我要重復(fù)說(shuō)一遍，盡管中學(xué)的“代數(shù)”比小學(xué)的“算術(shù)”來(lái)得“高級(jí)”，是“ 更有力的工具與更簡(jiǎn)單的方法”，但并不意味著小學(xué)的“算術(shù)”就可以不必學(xué)了，因?yàn)椋海?nbsp;1）“算術(shù)”中的一些內(nèi)容不能完全被“代數(shù)”所替代，如四則運(yùn)算等；（2）即使能被替代 的內(nèi)容，適當(dāng)?shù)貙W(xué)習(xí)一些，有利于對(duì)“代數(shù)”內(nèi)容的認(rèn)識(shí)與理解；（3）從教育學(xué)的角度考 慮，這里有循序漸進(jìn)的問(wèn)題，有學(xué)生不同年齡段的接受能力的問(wèn)題，等等。
　　作為中學(xué)“代數(shù)”中的一個(gè)重要內(nèi)容是解多元一次聯(lián)立方程組。在中學(xué)“代數(shù)”的教材 中，一般著重講二元或三元一次聯(lián)立方程組，所用的方法往往是消元法。但是，如果變?cè)獮?nbsp;四個(gè)或更多時(shí)，就得另想辦法來(lái)建立起多元一次聯(lián)立方程組的理論。經(jīng)過(guò)很多年的努力，矩 陣的想法產(chǎn)生了，這不但給出了多元一次聯(lián)立代數(shù)方程組的一般理論，而且由此建立起一門 新的學(xué)科——“線性代數(shù)”。這是又一次“數(shù)學(xué)中真正的進(jìn)展”，由于“更有力的工具和更 簡(jiǎn)單的方法”即“矩陣”的發(fā)現(xiàn)，不僅對(duì)多元一次聯(lián)立代數(shù)方程組的理解更為清楚，更為深 刻，而且由于有了統(tǒng)一處理的方法，就可以把個(gè)別地處理方程組的方法“拋到一邊”。
　　中學(xué)“代數(shù)”中的另一個(gè)重要內(nèi)容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算術(shù)》中已 有解一般一元二次方程的方法，后來(lái)有很多的發(fā)展。直到19世紀(jì)，為了解決什么樣的特殊的 代數(shù)方程能用根式來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題，伽羅瓦（1811—1832）建立起“群”的概念。這就意味 著現(xiàn)代代數(shù)理論的產(chǎn)生，這是又一次“數(shù)學(xué)中真正的進(jìn)展”。有了“群”以及后來(lái)發(fā)展起來(lái) 的現(xiàn)代代數(shù)理論，使人們可以更清楚、更深刻地理解以往高次代數(shù)方程求根式解的問(wèn)題。
數(shù)學(xué)歷史的啟示（下）
龔 昇
　　四、幾何與三角
　　人類在很早的時(shí)候，就有各種計(jì)算面積與體積的公式或經(jīng)驗(yàn)，也得到了不少幾何定理， 例如著名的畢達(dá)哥拉斯定理等。但在古代，幾何的代表作則是歐幾里得的《原本》?，F(xiàn)在中 學(xué)里學(xué)習(xí)的“平面幾何”與“立體幾何”的基本內(nèi)容，是2300年前《原本》已有的內(nèi)容。從 《原本》問(wèn)世以來(lái)，幾何領(lǐng)域一直是它的一統(tǒng)天下，這種現(xiàn)象持續(xù)了1000多年?！罢嬲倪M(jìn) 展”是由笛卡兒與費(fèi)馬建立起的“解析幾何”，其基本思想是在平面上引進(jìn)“坐標(biāo)”，使得 平面上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，于是幾何問(wèn)題就可以用代數(shù)形式 表達(dá)，而幾何問(wèn)題的求解就歸化為代數(shù)問(wèn)題的求解了。笛卡兒甚至還提出過(guò)一個(gè)大膽的計(jì)劃 ，即：
　　任何問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程求解。
　　“解析幾何”的產(chǎn)生可以理解為變量數(shù)學(xué)的開(kāi)始，它為微積分的產(chǎn)生創(chuàng)造了條件。由于 引進(jìn)了坐標(biāo)，幾何問(wèn)題歸結(jié)為代數(shù)問(wèn)題，于是可以用一些代數(shù)的工具與方法來(lái)處理，從而使 幾何問(wèn)題得解，這種思想與方法，使整個(gè)數(shù)學(xué)面目為之一新。
　　既然“解析幾何”是“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”，“解析幾何”比起“平面幾何”與“ 立體幾何”都來(lái)得高級(jí)，那么“平面幾何”與“立體幾何”是不是就不要學(xué)習(xí)了，直接學(xué)習(xí) “解析幾何”就可以了呢？從教育學(xué)的觀點(diǎn)，這顯然是不對(duì)的。我們所說(shuō)的“把陳舊的、復(fù) 雜的東西拋到一邊”，是指當(dāng)“解析幾何”產(chǎn)生之后，那種用原來(lái)的方法來(lái)創(chuàng)造與發(fā)明幾何 定理的時(shí)代已經(jīng)過(guò)去了，雖然這種做法延續(xù)了1000多年，但這并不意味著可以將“平面幾何 ”與“立體幾何”“拋到一邊”。在中學(xué)必須學(xué)習(xí)“平面幾何”與“立體幾何”至少有以下 幾點(diǎn)理由：（1）可以認(rèn)識(shí)人們生活的三維歐氏空間中一些最基本的幾何關(guān)系與性質(zhì)；（2） 不學(xué)習(xí)“平面幾何”與“立體幾何”，就無(wú)法學(xué)習(xí)“解析幾何”與“微積分”；（3）“平 面幾何”與“立體幾何”是訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)格邏輯思維的最好的方法之一，這種訓(xùn)練比上一門“ 形式邏輯”課更為有效，它對(duì)學(xué)生終生有用。當(dāng)然中學(xué)“平面幾何”與“立體幾何”應(yīng)講授 多少內(nèi)容是一個(gè)值得探討的問(wèn)題，完全取消是絕對(duì)錯(cuò)誤的，但做過(guò)多的幾何難題似乎也是不 必要的。
　　古典幾何的另一個(gè)“真正的進(jìn)展”，則是“非歐幾何”的產(chǎn)生，這是數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代 貢獻(xiàn)。
　　如前所述，歐幾里得的《原本》從誕生直到18世紀(jì)末，在幾何領(lǐng)域，它是一統(tǒng)天下，幾 乎成為“科學(xué)圣經(jīng)”。但在同時(shí)，人們多認(rèn)為五條公設(shè)中的前四條簡(jiǎn)潔、明了，無(wú)可非議， 而對(duì)第五公設(shè)，即“若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線 無(wú)限延長(zhǎng)，它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交”，則感到它不像一條公設(shè)，而更像 一條定理，即可以從其他公設(shè)、公理及定理中推導(dǎo)出來(lái)。
　　2000多年來(lái)，不知有多少數(shù)學(xué)家致力于用其他的公設(shè)、公理及定理來(lái)證明第五公設(shè)，甚 至有人為之付出了整個(gè)一生，但還是以失敗告終。直到19世紀(jì)，由高斯、波爾約及羅巴切夫 斯基創(chuàng)立了“非歐幾何學(xué)”，才結(jié)束了這件公案。“非歐幾何學(xué)”一反過(guò)去人們?cè)噲D從其他 公設(shè)、公理及定理來(lái)證明第五公設(shè)的做法，認(rèn)為第五公設(shè)不可能從其他的公設(shè)、公理及定理 中推導(dǎo)出來(lái)，而發(fā)展起第五公設(shè)不成立的新的幾何學(xué)。高斯稱之為“非歐幾里得幾何學(xué)”， 簡(jiǎn)稱“非歐幾何學(xué)”。1854年黎曼在“非歐幾何學(xué)”的思想基礎(chǔ)上建立了更為廣泛的幾何學(xué) ，即“黎曼幾何學(xué)”，開(kāi)創(chuàng)了幾何學(xué)甚至整個(gè)數(shù)學(xué)的新紀(jì)元，而其發(fā)展更是一日千里。眾所 周知，愛(ài)因斯坦的相對(duì)論正是以“黎曼幾何”作為其數(shù)學(xué)工具的。
　　經(jīng)歷了2000多年的思索與努力，“非歐幾何”的產(chǎn)生的確是“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展” ，把已有的理論——?dú)W幾里得幾何學(xué)，從更高、更深的角度去理解，而把那些陳舊的思想— —試圖用其他公設(shè)、公理及定理來(lái)證明第五公設(shè)的一切做法“拋到一邊”。
　　在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，還有一門叫“三角”。這門課程，主要討論六個(gè)三角函數(shù)的相互關(guān) 系及計(jì)算。人類對(duì)三角學(xué)的研究可以追溯到公元1～2世紀(jì)。當(dāng)時(shí)的天文學(xué)研究，已經(jīng)為三角 學(xué)奠定了基礎(chǔ)，例如已經(jīng)有了類似于正弦及正弦的表等。經(jīng)過(guò)了幾百年的努力，到9～10世 紀(jì)，三角函數(shù)的研究已系統(tǒng)化，到了13世紀(jì)，球面三角也基本完成。因此，現(xiàn)在中學(xué)學(xué)習(xí)的 “三角學(xué)”，其內(nèi)容基本上在千年前就形成了。
　　人們從更高、更深的角度來(lái)認(rèn)識(shí)“三角學(xué)”，是由于復(fù)數(shù)的引入。人們對(duì)復(fù)數(shù)的思考由 來(lái)已久，例如對(duì)方程x2＋1=0的根的思考，但人們認(rèn)真地將虛數(shù)=i引入數(shù)學(xué)則是16世紀(jì)的事 了。之后歐拉建立了著名的歐拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ，使得三角學(xué)中的問(wèn)題都可以化 歸為復(fù)數(shù)來(lái)討論，于是三角學(xué)中一大批問(wèn)題得以輕松地解決。有了復(fù)數(shù)與歐拉公式，使人們 對(duì)三角學(xué)的已有理論的理解更為深刻，并可以把一些原始的、復(fù)雜的處理三角學(xué)的方法與工 具“拋到一邊”。
　　我還得重復(fù)一遍，盡管復(fù)數(shù)與歐拉公式比三角學(xué)來(lái)得“高級(jí)”，但并不意味著中學(xué)課程 可以不學(xué)習(xí)三角學(xué)。事實(shí)上，三角學(xué)是一門實(shí)用的數(shù)學(xué)分支，在很多其他學(xué)科中都有用。
　　五、微積分
　　“微積分”實(shí)在是太重要了，不論你將來(lái)從事什么工作，理、工、醫(yī)、農(nóng)、文、商等等 ，都得學(xué)“微積分”?？梢赃@樣說(shuō)，中學(xué)課程中學(xué)習(xí)的各門數(shù)學(xué)，從某種意義上講正是為學(xué) 習(xí)微積分作準(zhǔn)備的，一切大學(xué)的數(shù)學(xué)課程也都是以微積分為基礎(chǔ)的。
　　微積分是從四個(gè)方面的問(wèn)題來(lái)的：（1）求曲線的長(zhǎng)度、區(qū)域的面積、物體的體積等； （2）求曲線的切線；（3）求運(yùn)動(dòng)物體的速度；（4）求一些問(wèn)題的極大、極小值。
　　當(dāng)然，這些問(wèn)題在一些簡(jiǎn)單的情形下，可以不用微積分，但當(dāng)情形略為復(fù)雜一些時(shí)，則 非用微積分不可。而反過(guò)來(lái)，微積分的誕生，不僅能解決上述這些問(wèn)題，而且其用處大大地 超出了這些問(wèn)題。
　　微積分的一些原始的思想，可以追溯到很遠(yuǎn)。例如，公元3世紀(jì)誕生的劉徽的“割圓術(shù) ”就孕育著一些樸素的微積分的想法。但是，微積分的誕生是在牛頓及萊布尼茨建立了“微 積分的基本定理”，即指出微分與積分互為逆運(yùn)算之后。計(jì)算積分不再要像以前那樣想一些 特殊的辦法進(jìn)行逐個(gè)處理，而可以統(tǒng)一處理了，從而使微積分不再成為幾何學(xué)的一部分，而 成為一門獨(dú)立的學(xué)科。
　　微積分的建立不僅使得數(shù)學(xué)的面貌徹底改變，而且將微積分應(yīng)用到其他學(xué)科，使整個(gè)自 然科學(xué)也徹底地改變了面貌。
　　牛頓與萊布尼茨的微積分基本定理的建立，促使了微積分的產(chǎn)生，的確是“數(shù)學(xué)中一步 真正的進(jìn)展”，的確是“更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)”。這不僅有助于我們對(duì)已有 理論的理解，如使我們對(duì)前面提到的四個(gè)問(wèn)題原有的理解，更為清楚與深刻，而且的確可以 把以往“陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊”，例如，對(duì)個(gè)別曲線用一些特殊的方法來(lái)計(jì)算其面 積與切線的方法都可以拋棄了。
　　六、幾點(diǎn)啟示
　?。?）一門學(xué)科的產(chǎn)生往往有多方面的因素，我在這里只說(shuō)了一個(gè)因素，而這個(gè)因素在 我看來(lái)是主要因素之一。（2）一門學(xué)科對(duì)其他學(xué)科的影響也是多方面的，例如，中學(xué)的“ 代數(shù)”課程，從方程式的角度導(dǎo)致了“線性代數(shù)”及“抽象代數(shù)”的產(chǎn)生，但從排列組合的 角度導(dǎo)致了組合數(shù)學(xué)的產(chǎn)生；又例如，“非歐幾何”的產(chǎn)生，引發(fā)了“幾何基礎(chǔ)”的深入討 論等。
　　從上面的論述中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”的“更有力的工具和 更簡(jiǎn)單的方法”往往是由于看來(lái)是十分簡(jiǎn)單明了的想法。如從算術(shù)走向代數(shù)，關(guān)鍵的一步是 “數(shù)字符號(hào)化”，即將數(shù)字用a,b,c，…x,y,z來(lái)表示。但正是這簡(jiǎn)單的一步，引發(fā)了“數(shù)學(xué) 中一步真正的進(jìn)展”，而人們認(rèn)識(shí)到“數(shù)字符號(hào)化”，卻花了上千年的時(shí)間。同樣，由“平 面幾何”“立體幾何”走向“解析幾何”，關(guān)鍵的一步是“引進(jìn)坐標(biāo)”，即將平面的點(diǎn)與數(shù) 一一對(duì)應(yīng)。現(xiàn)在看來(lái)這一步也是十分自然的，人們是樂(lè)于接受的，但正是這樣看似簡(jiǎn)單的一 步，引發(fā)了“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”。對(duì)于其他的情形，也是一樣，不在此一一重復(fù)了。
　　仔細(xì)想想，“數(shù)字符號(hào)化”比算術(shù)中的一道難題可能更易于理解，“數(shù)字符號(hào)化”之后 ，解算術(shù)難題則輕而易舉。同樣“引入坐標(biāo)”，比“平面幾何”中的一道難題的解可能更易 于理解，“引入坐標(biāo)”之后，解幾何難題則比較容易了。當(dāng)然，“代數(shù)”比“算術(shù)”來(lái)得“ 高級(jí)”，“解析幾何”比“平面幾何”來(lái)得“高級(jí)”，可“高級(jí)”的反而容易，“低級(jí)”的 反而難，這就是“高”“低”與“難”“易”之間的辯證關(guān)系。而更令人深思的是：重要的 是要有創(chuàng)新的思想，“數(shù)字符號(hào)化”“引入坐標(biāo)”這些看似簡(jiǎn)單的想法，卻是創(chuàng)新思想。有 了這種創(chuàng)新思想，才會(huì)有“數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”，否則即使是解決“算術(shù)”難題的能人 ，是做“平面幾何”難題的高手，如果無(wú)這種創(chuàng)新思想，那么難題做得再多，也不可能引發(fā) “數(shù)學(xué)中一步真正的進(jìn)展”。當(dāng)然，這種創(chuàng)新思想來(lái)之不易，往往要經(jīng)過(guò)幾百年乃至千年的 積累才能形成。經(jīng)過(guò)了長(zhǎng)期的積累，走向成熟，就會(huì)有數(shù)學(xué)大師總結(jié)與提升前人的成果，進(jìn) 而提出這種創(chuàng)新的思想，這就是數(shù)學(xué)的歷史。
　　當(dāng)然，我這樣說(shuō)，并不是否定做一些算術(shù)或幾何的難題。從培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力來(lái) 看，讓學(xué)生花太多的時(shí)間來(lái)做太多的難題當(dāng)然不必要，但適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生做一些數(shù)學(xué)難題還是 必要的，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思想是有好處的，因?yàn)閯?chuàng)新思想不是一天能培養(yǎng)出來(lái)的，要日積 月累，有一個(gè)從量變到質(zhì)變的過(guò)程?？纯礆v史上的那些大數(shù)學(xué)家，哪一位沒(méi)有做過(guò)難題？從 教學(xué)的角度來(lái)看，問(wèn)題是要適量。至于中小學(xué)教師，為了提高教學(xué)質(zhì)量，對(duì)一些難題進(jìn)行研 究、分析與探討，那是理所當(dāng)然的事。從因材施教、提高同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與能力的角 度出發(fā)，來(lái)舉辦一些數(shù)學(xué)活動(dòng)，如“數(shù)學(xué)競(jìng)賽”等有意義的活動(dòng)更是必要的了。從數(shù)學(xué)發(fā)展 的歷史角度與從數(shù)學(xué)教育的角度來(lái)考慮問(wèn)題終究是不一樣的。
　　如果以上算作數(shù)學(xué)歷史的一點(diǎn)啟示，那么以下所說(shuō)的也可以算作數(shù)學(xué)歷史的另一點(diǎn)啟示 。
　　從上述的敘述中還可以看到，數(shù)學(xué)的歷史也像戰(zhàn)爭(zhēng)史?！耙粚⒐Τ扇f(wàn)骨枯”！想想從歐 幾里得的《原本》誕生之后，幾千年來(lái)，不知有多少數(shù)學(xué)家前仆后繼地試圖用其他公設(shè)、公 理及定理來(lái)證明第五公設(shè)。這些人都失敗了，他們都默默無(wú)聞，數(shù)學(xué)史上沒(méi)有記載他們的名 字。但正是由于千千萬(wàn)萬(wàn)個(gè)無(wú)名的數(shù)學(xué)家的失敗，才導(dǎo)致了高斯、波爾約、羅巴切夫斯基從 另外的角度來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題。他們成功了，他們成了英雄，但他們的成功是在幾千年來(lái)千千 萬(wàn)萬(wàn)個(gè)數(shù)學(xué)家失敗的基礎(chǔ)上獲得的，所以可以說(shuō)是“一將功成萬(wàn)骨枯”！
　　同樣自從二次、三次及四次一元代數(shù)方程式得到根式解后，幾百年來(lái)，也不知有多少數(shù) 學(xué)家前仆后繼地試圖找到五次及更高次一元代數(shù)方程式的根式解，但他們都失敗了。這些人 在數(shù)學(xué)史上默默無(wú)聞，誰(shuí)也不會(huì)記起他們的名字，但他們的犧牲，導(dǎo)致了拉格朗日、阿貝爾 與伽羅瓦從新的角度來(lái)考察這個(gè)問(wèn)題。他們成功了，名垂數(shù)學(xué)史，但他們的成功也是在幾百 年來(lái)無(wú)數(shù)默默無(wú)聞的數(shù)學(xué)家失敗的基礎(chǔ)上獲得的。這也可說(shuō)是“一將功成萬(wàn)骨枯”！
　　這樣的例子還可以舉出很多。
　　這些數(shù)學(xué)的歷史，給我們以深刻的啟示：我們應(yīng)該如何來(lái)選擇數(shù)學(xué)問(wèn)題，如何來(lái)思考與 處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，才能盡量避免不必要的犧牲，獲得成功。
　　百年前，希爾伯特在他那著名的講演中，用以下這段話作為結(jié)束語(yǔ)：“數(shù)學(xué)的有機(jī)統(tǒng)一 ，是這門科學(xué)固有的特點(diǎn)，因?yàn)樗且磺芯_自然科學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，為了圓滿實(shí)現(xiàn)這個(gè)崇高 的目標(biāo)，讓新世紀(jì)給這門科學(xué)帶來(lái)天才的大師和無(wú)數(shù)熱誠(chéng)的信徒吧！”我深信，21世紀(jì)一定 會(huì)“給這門科學(xué)帶來(lái)天才的大師”，而且其中肯定有許多來(lái)自我們中國(guó)！

數(shù)九歌－北京

一九二九不出手；三九四九冰上走； 

五九六九沿河看柳；七九河開(kāi)八九雁來(lái)； 

九九加一九，耕牛遍地走。

詩(shī)情數(shù)意

一、晚　霞　紅

太陽(yáng)落山晚霞紅，我把鴨子趕回籠。 

一半在外鬧哄哄，一半的一半進(jìn)籠中。 

剩下十五圍著我，共有多少請(qǐng)算清。