1989小學數學奧林匹克試題決賽及答案

　　1.計算： 2.某水池可以用甲、乙兩個水管注水.單放甲管需12小時注滿，單放乙管需24小時注滿.現在要求10小時注滿水池，并且甲乙兩管合放的時間盡可能地少，那么甲乙兩管合放最少需________小時.

　　3.有10張長3厘米，寬2厘米的紙片，將它們按照下圖的樣子擺放在桌面上：

　　那么，這10張紙片所蓋住桌面上的面積是_________平方厘米.

　　4.用圓圈列出的10個數按時針次序可以組成許多個整數部分是一位的循環(huán)小數，例如 ，如圖所示，那么在所有這種數中最大的一個是__________.

　　5.有一列數1，1989，1988，1987，…，從第三個數起，每一個數都是它前面兩個數中大數減小數的差，那么第1989個數是__________.

　　6.甲乙兩地之間有一條公路，李明從甲地出發(fā)步行往乙地;同時張平從乙地出發(fā)騎摩托車往甲地.80分鐘后兩人在途中相遇，張平到達甲地后，馬上折回往乙地，在第一次相遇后又經過20分鐘張平在途中追上李明.張平到達乙地后又馬上折回往甲地，這樣一直下去，當李明到達乙地時，張平追上李明的次數是__________次.

　　7.圖(a)是一個直徑是3厘米的半圓，AB是直徑.讓A點不動，把整個半圓逆時針轉60°角，此時B點移動到 >點，見圖(b)，那么圖中陰影部分的面積是_________平方厘米.(π=3.14)

　　8.有4個不同的自然數，它們當中任意兩個的和是2的倍數;任意3個數的和是3的倍數，為了使得這4個數的和盡可能小，這4個數分別是__________.

　　9.在桌面上放置3個兩兩重迭、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是100平方厘米，蓋住桌面的總面積是144平方厘米，3張紙片共同重疊的面積是42平方厘米.那么圖中3個陰影部分的面積和是_________平方厘米.

　　10.圖中，把正方體的6個表面都分成9個相等的正方形.現在用紅、黃、藍3種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形顏色不同.那么用紅色染成的正方形的個數最多是__________個.

　　11.A、B、C、D、E5個人參加乒乓球賽，每兩人都要賽一盤，并且只賽一盤.規(guī)定勝者得2分，負者得0分.現在知道比賽結果是：A和B并列第一名，C是第二名，D和E并列第四名，那么C的得分是__________分.

　　12.從1，2，3，4，…，1988，1989這些自然數中。最多可以取__________個數，其中每兩個數的差不等于4.

　　13.在長260厘米，寬150厘米的臺球桌上，有A，B，C，D，E，F，6個球袋，其中AB=EF=130厘米.現在從A處沿45°方向打出一球，如圖所示，碰到桌邊后又沿45方向彈出，當再碰到桌邊時，仍沿45方向彈出，如此繼續(xù)下去，直到落入某個袋中為止.那么它將落入__________袋中.

　　14.將14個互不相同的自然數，從小到大依次排成一列，已知其總和為170，如果去掉最大的數和最小的數那么剩下的數的總和為150，在原來已排成的次序中第二個數是__________.

　　15.將自然數1，2，3，…依次寫下去組成一個數：123456789101112113…，如果寫到某個自然數時，所組成的數恰好第一次能被72整除，那么這個自然數是__________.

　　參考答案：

　　1.【解】原式= ×[ ×(4.85+6.15)-3.6]+[5.5- × ]

　　= ×3.6×(11-1)+11×(0.5- )

　　=9+ =10 2.【解】 (小時).

　　3.【解】第一張紙片蓋住的面積是3×2=6(平方厘米)后而每增加一張(紙片).多蓋

　　(3-2)×2=2(平方厘米).

　　于是，這10張紙片蓋住桌面上的面積是

　　6+2×9：24(平方厘米)

　　4.【解】最大的是 5.【解】數列1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，…中每隔3個數有一個1，去掉1以后，每個數比前一個少1.

　　1989÷3=663，

　　所以第1989個數是1989-663×2+1=664.

　　6.【解】假設李明20分鐘行走1份，則李明80分鐘走4份，于是，張平在20分鐘內可行駛

　　4×2+1=9(份)

　　即李明與張平的速度比為1∶9

　　由此，當李明從甲走到乙時張明從乙到甲，從甲到乙，…，共走了9次

　　于是，張平共追上李明

　　(9-1)÷2=4(次)

　　7.【解】陰影部分的面積等于全部圖形的面積減去一個直徑為3厘米的

　　半圓的面積，從而等于一個半徑為3厘米的圓的面積的 .即

　　×π× ={×3.14×9-4.71(平方厘米)

　　8.【解】任兩個數的和是2的倍數，所以這些數的奇偶性相同

　　任三個數的和是3的倍數，所以這些數除以3，所得余數必定相同(否則在三個數的和中換一個數，和將不是3的倍數)

　　于是，這些數除以6所得余數相同。和最小的四個數是1，7(=1+6)，13(=7+6)，19=(13+6).

　　9.【解】陰影部分的面積和

　　=100×3-144 2×42

　　=72(平方厘米)

　　10.【解】最多是22個.

　　將圖中三個面上打點的方格染紅，打×的方格染黃，其余的染藍，它們的對面也同樣地涂色，這樣就有

　　(5+4+2)×2=22

　　個方格染紅，而且有公共邊的正方形顏色不同

　　【注】要證明紅色的正方形不能超過22個，需要用枚舉法，將正方體切成三層，上面一層只有一種方式使紅色的方格超過8個，即圖2.

　　中央一層最多可染6個紅色方格，即圖3。但上一層紅色方格有9個時，中央一層只能染4個紅色方格，所以紅色方格的總數≤9+4+9或8+6+8.

　　即不超過22個.

　　11.【解】每個人的得分都是偶數，D、E二人比賽時，勝者得2分，所以D、E的得分至少是2,C的得分至少是4，如果C的得分大于4，那么A、B的得分大于6，五人總分大于

　　2×2+4+6×2=20

　　但五個人共賽

　　5×4÷2=10

　　盤，總得分為

　　10×2=20

　　因此，C的得分只能是4(這時A、B各得6分).

　　12.【解】將1～1989排成四個數列：

　　1，5，9，…，1985，1989

　　2，6，10，…，1986

　　3，7，11.…，1987

　　4，8，12，…，1988

　　每個數列相鄰兩項的差是4，因此，要使取出的數中，每兩個的差不等于4，每個數列中不能取相鄰的項，因此，第一個數列只能取出一半，因為它有(1989-1)÷4+1=498項，所以最多取出249(=498÷2)項，例如1，9，13，…，1985.同樣，后三個數列每個最多可取249項，因而最多取出

　　249×4=996

　　個數，其中每兩個的差不等于4.

　　13.【解】將每個點用一對坐標表示.前一個是這點到FA的距離，后一個

　　是這點到FD的距離，于是A的坐標是(0，150)，球經過的路線如下：

　　(0，l50)→(150，0)→(260，110)→(220，150)→(70，0)→(0，70)→(80，

　　150)→(230,0)→(260，30)→(140，150)→(0,10)→(10，0)→(160，150)→

　　(260,50)→(210，0)→(60，150)→(0，90)→(90，0)→(240，150)→(260，130)

　　一(130，0)

　　因此，該球最后落入E袋

　　14.【解】由題意可知最大數與最小數之和為20。若20分成1+19，即最小數為1，最大數為19.只有當其余12個數為7、8、9…18時，其和才為150(= )，此時原來排成的次序中第二個數為7

　　若20分成2+18，即最小的數為2，最大的數為18，其余12個數的和最大只能為138(= )與題意不符。同理其余情形也不合題意。

　　故在原來已排成的次序中第二個數為7。

　　15.【解】注意到能被72整除的數必能被8和9整除。從而數字和為9的倍數，且末三位構成的數為8的倍數。于是可得這個自然數為36[536被8整除。(1十2+3+…+9)×(1+1十1)+1×9十1+2×9+2+3×7十1+2+3+4+5+6被9整除]