顧險峰  (紐約州立大學(xué)石溪分校終身教授，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心訪問教授，計算共形幾何創(chuàng)始人)

2016年見證了虛擬現(xiàn)實/增強現(xiàn)實（VR/AR）技術(shù)發(fā)展的洶涌浪潮。諸多工業(yè)巨頭和學(xué)術(shù)重鎮(zhèn)紛紛投入巨大的人力物力促進(jìn)這一場技術(shù)革命，例如阿里巴巴斥資8億美元資助Magic Leap進(jìn)行光場AR顯示設(shè)備的研發(fā)，扎克伯格宣稱VR將是FaceBook的未來發(fā)展方向。微軟的HoloLens，谷歌的Cardboard在市場上迅猛普及，Oculus Rift 的開發(fā)硬件設(shè)備在Amazon上半天就被搶購一空。老顧的學(xué)生也開始創(chuàng)業(yè)，瞬間拿到數(shù)千萬的風(fēng)險投資。對于數(shù)學(xué)家而言，這場VR/AR的狂潮實際上是微分幾何理論對于現(xiàn)代科技推動作用的又一次范例。一方面，微分幾何為VR/AR技術(shù)的發(fā)展提供了指導(dǎo)作用，同時VR/AR的實際應(yīng)用為微分幾何提出了新的理論挑戰(zhàn)。

VR/AR的大量應(yīng)用涉及了很多幾何領(lǐng)域，直接相關(guān)的包括逼近理論、幾何數(shù)據(jù)壓縮理論、映射和變形理論等等。老顧計劃撰寫一系列文章，簡明扼要地剖析這些理論和相應(yīng)的算法。

目前，VR/AR的硬件支持依然差強人意，圖像解析度，渲染復(fù)雜程度，刷新幀率都比較低。特別在手機上的VR/AR應(yīng)用，幾何形狀和紋理貼圖相對原始粗糙。如上圖所示，在計算機中，光滑曲面都是用三角形多面體網(wǎng)格來近似逼近。由于硬件計算和存儲能力有限，所用的三角網(wǎng)格盡量的簡單，三角面片盡量的少。這樣，如何用簡單的離散三角網(wǎng)格來逼近復(fù)雜的光滑曲面成為VR/AR應(yīng)用中的技術(shù)關(guān)鍵。更進(jìn)一步，這個問題可以分解成兩個子問題：如何在光滑曲面上離散采樣和如何將采樣點進(jìn)行三角剖分。

其實，幾何逼近問題具有相對“古老”的歷史。二十年前，當(dāng)GPU和三維掃描技術(shù)剛剛興起的時候，幾何逼近，重建理論成為工程領(lǐng)域中被關(guān)注的焦點。老顧向丘成桐先生請教過這個問題。當(dāng)時丘先生說了一句意蘊深長的話，令老顧回味至今：“離散曲面不但位置上要逼近光滑曲面，法叢也要逼近?！笨上菚r候?qū)@句話理解不夠深刻，即使理解也沒有功力為這一思想建立理論。那時，計算機科學(xué)領(lǐng)域?qū)@個問題的理解相對膚淺，SIGGRAPH上的論文給出的方法只能證明離散曲面的拓?fù)渑c光滑曲面的拓?fù)浔舜艘恢?。十多年后，離散法叢的理論才被幾何學(xué)家建立起來。時光流轉(zhuǎn)，滄海桑田，瞬息萬變的是工程技術(shù)，亙古不變的是幾何理論。幾十年后，GPU已經(jīng)從一棵幼苗長成參天大樹，生長點已從實時渲染轉(zhuǎn)到了人工智能，對于這一問題的熱情已是時過境遷；但是，VR/AR應(yīng)用的興起，重燃了公眾對幾何逼近理論的興趣。技術(shù)發(fā)展的歷史，幾度輪回。

微分幾何的中心是空間彎曲，空間彎曲的精確表示是各種各樣的曲率張量。曲率本身是抽象而費解的概念。直觀而言，幾何中的曲率就是物理中的力。比如，我們沿著一條空間曲線速度恒定地開車，我們所感受到的力就是曲線的曲率。

圖1  曲線的密切圓

假設(shè)我們沿著一條空間曲線駕車，，如果曲線是圓周，則我們受到的向心力為：

,

和半徑成反比，因此圓周曲率為半徑的倒數(shù)。一般空間曲線，我們固定一點，則存在唯一的圓和曲線在此點至少二階相切，這個圓被稱為是曲線在此點的密切圓。曲線在的曲率就是密切圓半徑的倒數(shù)。

圖2  曲面的主曲率和主方向

歐拉的觀點 曲面的情形比較復(fù)雜，歐拉認(rèn)為曲面是由曲線編制而成，通過用曲線曲率，我們可以刻畫曲面的幾何。固定曲面上一點，任選一切方向，法向量和切向量張成一張平面，平面和曲面相交于一條平面曲線，曲線在p點的曲率被稱為是曲面在p點沿著方向的法曲率，記為。當(dāng)我們旋轉(zhuǎn)切向量時，法曲率連續(xù)變化。有兩個相互垂直的方向，對應(yīng)的法曲率取得最大值和最小值。被稱為主曲率，被稱為主方向。曲面上處處和主曲率相切的曲線被稱為是主曲率線。對于藝術(shù)家而言，曲面明暗色調(diào)的模式主要是由主曲率線來刻畫。因此，出色的畫家對于主曲率線都具有異常敏銳的直覺。主曲率的均值被稱為平均曲率，主曲率之積被稱為高斯曲率。

圖3  曲面上的主曲率線

高斯的觀點 假設(shè)是一光滑曲面，光滑嵌入在三維歐式空間中，這里是位置向量。任給一點，我們?nèi)稳【植繀?shù)。曲面的法向量場記為，所謂高斯映射（Gauss Map）就是將位置向量映射到法向量：。直觀上，高斯映射將曲面上鄰域映到單位球面上區(qū)域，球面區(qū)域和曲面區(qū)域的面積比就是高斯曲率。曲面面元等于，球面面元是，因此高斯曲率為

。

高斯發(fā)展了更為深刻的見解，他認(rèn)為曲面本身就是一個空間，高斯曲率是曲面空間的內(nèi)蘊性質(zhì)，和曲面在歐式空間中的嵌入無關(guān)。這里我們看到了一個顯然的悖論：為了定義高斯曲率，我們假設(shè)曲面嵌入在歐式空間之中，然后用法向量來定義高斯映射，高斯映射的面元比定義成高斯曲率。隨后，我們又宣稱如此定義的曲率其實和嵌入（法向量）無關(guān)，這豈不自相矛盾？其實，高斯曲率可以由平行移動內(nèi)蘊地定義如下。曲面上給定了黎曼度量，我們可以測量兩點間的距離。如果兩點相距不太遠(yuǎn)，則兩點間的最短線就是所謂的測地線。給定曲面上的一個區(qū)域，我們用分段測地線包圍。在邊界曲線的起點處選擇一個切向量，然后沿著測地線移動切向量，使得切向量和測地線的夾角不變，這就是平行移動。沿著邊界平行移動一周之后，回到起點處，那么平移后的切向量和初始切向量一般不會重合，兩者相差的角度就是區(qū)域內(nèi)部的高斯總曲率。

圖4  平行移動

這種解釋方式只用到了黎曼度量。由此可見，高斯曲率由曲面的黎曼度量所決定，和曲面在背景空間中的等距嵌入方式無關(guān)。

圖5  光滑曲面的離散逼近

在計算機中，我們用離散曲面來逼近光滑曲面，如圖5所示。米開朗基羅的大衛(wèi)王的頭像被三角網(wǎng)格逼近。每個三角面片定義了一張支撐平面，過每個頂點我們可以定義一族支撐平面。我們將網(wǎng)格上每個點映到過此點所有支撐平面的法向量的集合，由此得到了離散高斯映射。我們也可以考慮網(wǎng)格上的測地線和平行移動。

應(yīng)用離散高斯映射，或者平行移動，我們可以將離散曲面上的高斯曲率定義為角欠。給定一個內(nèi)頂點，考察和相鄰的三角形內(nèi)角之和，其高斯曲率是周角和內(nèi)角和之差；對于邊界頂點，其高斯曲率是平角和內(nèi)角和之差。因此，離散高斯曲率的公式為

，

圖6  離散曲率

類似的，每條邊相鄰兩個三角面片，兩個面片之間具有二面角。這條邊的離散平均曲率定義為邊長和其上二面角之積：

。

為幾何逼近論建立的各種數(shù)學(xué)理論中，相對簡潔并具有一般性的是離散法叢理論（Normal Cycle Theory）。給定一張光滑曲面，其單位法叢是一張光滑曲面，嵌入在中，

，

這里是在點的法向量。

圖7  光滑曲面和單位法叢

如圖7所示，這里淡藍(lán)色的曲面是淺綠色曲面的單位法叢，單位法叢嵌在了三維歐式空間中。一般情況下，曲面的單位法叢如果實現(xiàn)在三維歐式空間中會出現(xiàn)自相交。因此，我們把它嵌在了五維的空間中。

圖8  離散凸曲面和單位法叢

類似的，我們需要定義離散曲面的離散法叢。構(gòu)造方法也是非常直觀。假設(shè)是一個四面體，其上任意一點，過p的平面被稱為支撐平面，如果整個四面體在的一側(cè)。點p處所有支撐平面的法向量集合被稱為點的法錐，記為

，

那么，四面體的離散法叢定義為

。

我們可以將四面體替換為中任意的凸集合，例如三角形，線段，甚至離散點。圖8顯示了一個離散凸曲面的單位法叢，它等于凸曲面所包圍的凸體和單位球體的閔科夫斯基和（Minkowski Sum）。

圖9  離散曲面的內(nèi)部三角剖分

對于一般非凸的離散曲面，離散法叢可以遞歸定義如下。給定一個封閉離散曲面（多面體），如圖9所示，我們將的內(nèi)部三角剖分，得到四面體網(wǎng)格，其四面體集合記為。

圖10  包含-去除公式

我們利用如下的包含-去除法則來定義離散曲面的離散法叢：

，

圖10是包含-去除公式的示意圖。離散曲面只是連續(xù)曲面，本身并不光滑。離散曲面的離散法叢卻是一張光滑曲面，更精確的，是一張光滑曲面。

利用法叢理論，我們可以將內(nèi)蘊的高斯曲率外蘊化。在背景空間中，有三個全局定義的2階微分形式，我們稱之為曲率微分形式，它們在理論中起到舉足輕重的作用。假設(shè)背景空間的坐標(biāo)是，則面積（曲率）微分式：

，

高斯曲率微分式：

，

平均曲率微分式：

光滑情形 令是光滑曲面上的波萊爾集合，我們用來表示法叢在上的限制。奇妙的是，曲率微分在法叢上的積分等于曲率測度，

，

，

。

我們知道高斯曲率是內(nèi)蘊的，通過法叢和曲率微分形式，我們將其轉(zhuǎn)換為外蘊。

離散情形 我們令為離散曲面上的任意波萊爾集合，和光滑情況相似，則曲率微分形式在離散法叢上的積分等于離散曲率測度，

，

，

。

如果我們能夠用離散法叢來逼近光滑法叢，則離散曲率測度必然收斂到光滑曲率測度。由此我們看到，法叢理論統(tǒng)一了離散和光滑曲率理論。

歷史上，有一種錯誤的觀點。人們曾經(jīng)天真地認(rèn)為，只要采樣密度足夠高，三角面片足夠小，那么離散曲面自然會逼近光滑曲面。早在1880年，數(shù)學(xué)家 Hermann Schwartz 構(gòu)造了一個著名的反例，后來被世人稱為許瓦茨的燈籠，如下圖所示。

圖11  許瓦茨的燈籠

對于離散曲面上的任意一點，我們可以找到光滑曲面上的最近點，這樣，我們得到所謂最近點映射，記為，

這里是空間中的歐式距離。所謂的豪斯道夫距離（Hausdorff Distance）定義如下:

。

許瓦茨的燈籠是對光滑圓柱面的離散逼近。假如我們在光滑柱面上采樣，假設(shè)在個等高線上采樣，每個等高線上采個采樣點，然后如圖中所示建立三角剖分。依隨k趨向無窮，我們得到一系列離散曲面。我們可以證明，離散曲面到光滑曲面的豪斯道夫距離趨于零，但是離散曲面的面積并不趨于光滑曲面的面積，離散高斯曲率測度并不收斂于光滑高斯曲率測度，離散平均曲率測度并不收斂于光滑平均曲率測度。本質(zhì)上，這是因為離散法叢并沒有收斂到光滑法叢。

通過利用曲面局部微分幾何的細(xì)致分析，如果我們在光滑曲面上采樣，然后在歐式空間中建立三角剖分，我們可以得到一系列離散曲面，離散法叢收斂的充分條件如下：

1. 所有三角形的邊長為，，趨于零，

2. 所有三角形的最小角大于一個正的下界。
   

這兩條可以保證離散法叢曲面和光滑法叢曲面的豪斯道夫距離為，從而保證面積收斂，曲率收斂。進(jìn)一步，我們可以證明離散黎曼度量收斂到光滑黎曼度量，離散拉普拉斯算子收斂到光滑拉普拉斯算子。

那么如何從算法角度實現(xiàn)如上的兩條，從而保證曲率收斂？主要的方法來自經(jīng)典的計算幾何和共形幾何。

計算幾何領(lǐng)域的傳統(tǒng)問題是計算Delaunay三角剖分。如圖12所示，給定平面離散點集，一般情況下，存在唯一的三角剖分，使得每個三角形的外接圓不包括第四個點。Delaunay三角剖分的計算也有很多種，比較常見的是Edge Swap和凸包方法。

圖12  Delaunay三角剖分

在網(wǎng)格生成領(lǐng)域（Mesh Generation），Delaunay Refinement是最為有效而常用的算法。其基本思想如圖13所示，給定平面點集，我們計算Delaunay三角剖分。然后尋找外接圓半徑過大的三角形，將其外接圓心加入到點集中，然后重新計算Delaunay三角剖分。重復(fù)這一步驟，直到所有的三角形外接圓半徑都小于給定閾值。在適當(dāng)條件下，這種方法可以保證上面提出的兩條：三角形邊長足夠小，和最小角有正的下界。這種方法有數(shù)目繁多的變種，但是萬變不離其宗。那么如何將歐式空間中的Delaunay Refinement算法推廣到曲面范疇？這必須借助于共形幾何。

圖13  Delaunay refinement算法

Delaunay三角剖分的一個本質(zhì)特性是：最大化最小角。我們知道，共形變換保持角度不變，因此，從某種意義來說，共形變換保持Delaunay三角剖分。共形幾何中的單值化定理是說：大千世界，各種曲面千變?nèi)f化，不可窮盡；但是在共形變換下，都?xì)w結(jié)為三種標(biāo)準(zhǔn)曲面中的一種：球面，歐式平面，雙曲圓盤。丘先生曾經(jīng)說過：單值化定理是曲面微分幾何最為深刻，最為基礎(chǔ)的根本定理。幾乎所有曲面微分幾何的大定理的證明，都無法繞過單值化定理。

圖14  共形幾何中的單值化定理

圖14顯示了曲面單值化定理。給定一個封閉曲面，嵌入在三維歐式空間之中，因而具有歐式度量誘導(dǎo)的黎曼度量記為。曲面上任意一個函數(shù)都定義了一個新的度量，和初始度量共形等價。單值化定理斷言，存在一個函數(shù)，使得誘導(dǎo)常值高斯曲率。如果曲面的虧格為零，如左列所示，那么常值為+1，曲面共形映射到單位球面上；如果曲面的虧格為1，如中列所示，那么常值為0，曲面周期性的共形映射到歐式平面上；如果曲面的虧格大于1，如右列所示，那么常值為-1，曲面周期性地共形映射到雙曲圓盤上。

Delaunay Refinement算法可以直接從歐式平面推廣到球面和雙曲圓盤上面。如果我們用球極投影將球面投射到平面上，或者用Poincare模型來表示雙曲圓盤，那么歐式平面上的Delaunay三角剖分等價于球面上和雙曲圓盤上的Delaunay三角剖分。因此，對于任意光滑曲面，我們用單值化定理，可以構(gòu)造一系列離散曲面來逼近光滑曲面，使得曲率測度收斂。

至此，在理論和算法層面，我們給出了幾何逼近論相對完備的答案?；仡櫄v史，我們可以看到幾何逼近理論的發(fā)展是被GPU技術(shù)、三維掃描技術(shù)，以及VR/AR技術(shù)的發(fā)展所推動。工業(yè)界和學(xué)術(shù)界無數(shù)工程師為此付出了辛勤的汗水，建立了正確的直覺，研發(fā)了實用的軟件工具。但是，真正的理論根基還是由數(shù)學(xué)家所奠定，其中涉及的理論工具，例如法叢、曲率微分形式和共形單值化，實際上已經(jīng)觸及到曲面微分幾何最深層次的理論，并且歷經(jīng)數(shù)十年。這顯示了從工程直覺提煉出基礎(chǔ)理論的艱辛。就目前發(fā)展水平而言，理論的發(fā)展又超前于工業(yè)界的發(fā)展，尤其是復(fù)雜曲面的離散逼近軟件工具依然缺乏。我們相信，工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的緊密合作，必將會再度推進(jìn)這一領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展。

在下一篇文章中，我們力圖分析如下的問題：一個幾何曲面所包含的所有信息如何理解和表示？信息熵的概念如何推廣到曲面上面？幾何壓縮的微分幾何理論基礎(chǔ)如何？