「新原理研究所」（ID：newprincipia）

談起數(shù)學(xué)時(shí)，你的腦海中會(huì)浮現(xiàn)出什么？是復(fù)雜的幾何形狀、繁瑣的數(shù)值運(yùn)算、難解的方程、未解的猜想，還是…….？在面對(duì)什么是數(shù)學(xué)這個(gè)問(wèn)題上，我們盡量保持比較廣的定義，它包括所有數(shù)量、幾何和邏輯相關(guān)的領(lǐng)域。或許一個(gè)最直觀的定許是——數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家所從事的研究領(lǐng)域。

那么，數(shù)學(xué)家究竟都在研究什么呢？或者說(shuō)數(shù)學(xué)是由哪些部分組成的？傳統(tǒng)上，我們可以將數(shù)學(xué)分為兩大類：研究數(shù)學(xué)本身的純數(shù)學(xué)和應(yīng)用于解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的應(yīng)用數(shù)學(xué)。但是這種分類法并不十分清晰，許多領(lǐng)域起初是按照純數(shù)學(xué)發(fā)展的，但后來(lái)卻發(fā)現(xiàn)了意想不到的應(yīng)用。許多領(lǐng)域之間也有著非常緊密的關(guān)系，因此，如果要精確地為數(shù)學(xué)分類的話，應(yīng)該是一個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)。

而在本文中，我們將會(huì)帶領(lǐng)讀者簡(jiǎn)單地了解數(shù)學(xué)的五大部分：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、代數(shù)學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。

○  數(shù)學(xué)可大致分為五大部分，每一個(gè)分支中又包含著許多的子領(lǐng)域。| 圖片來(lái)源：NPI

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的是邏輯或集合論中的問(wèn)題，它們是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言。邏輯與集合論領(lǐng)域思考的是數(shù)學(xué)本身的執(zhí)行框架。在某種程度上，它研究的是證明與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的本質(zhì)，與哲學(xué)接近。

○  數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。| 圖片來(lái)源：NPI

數(shù)理邏輯和基礎(chǔ)

Mathematical logic and foundations

數(shù)理邏輯是這一部分的核心，但是對(duì)邏輯法則的良好理解產(chǎn)生于它們第一次被使用之后。除了在計(jì)算機(jī)科學(xué)、哲學(xué)和數(shù)學(xué)中正式地使用了基礎(chǔ)的命題邏輯之外，這一領(lǐng)域還涵蓋了普通邏輯和證明論，最終形成了模型論。在此，一些著名的結(jié)果包括哥德?tīng)柌煌耆远ɡ硪约芭c遞歸論相關(guān)的丘奇論題。

代數(shù)學(xué)

代數(shù)是對(duì)計(jì)數(shù)、算術(shù)、代數(shù)運(yùn)算和對(duì)稱性的一些關(guān)鍵的概念進(jìn)行提煉而發(fā)展的。通常來(lái)說(shuō)，這些領(lǐng)域僅通過(guò)幾個(gè)公理就可定義它們的研究對(duì)象，然后再考慮這些對(duì)象的示例、結(jié)構(gòu)和應(yīng)用。其他非常偏代數(shù)的領(lǐng)域包括代數(shù)拓?fù)?、信息與通信，以及數(shù)值分析。

○  代數(shù)學(xué)。| 圖片來(lái)源：NPI

數(shù)論

Number theory

數(shù)論是純數(shù)學(xué)中最古老、也是最龐大的分支之一。顯然，它關(guān)心的是與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題，這通常是整數(shù)或有理數(shù)（分?jǐn)?shù)）。除了涉及到全等性、可除性、素?cái)?shù)等基本主題之外，數(shù)論現(xiàn)在還包括對(duì)環(huán)與數(shù)域的非常偏代數(shù)的研究；還有用于漸近估計(jì)和特殊函數(shù)的分析方法和幾何主題；除此之外，它與密碼學(xué)、數(shù)學(xué)邏輯甚至是實(shí)驗(yàn)科學(xué)之間都存在著重要的聯(lián)系。

群論

Group theory

群論研究的是那些定義了可逆結(jié)合的“乘積”運(yùn)算的集合。這包括了其他數(shù)學(xué)對(duì)象的對(duì)稱集合，使群論在所有其他數(shù)學(xué)中占有一席之地。有限群也許是最容易被理解的，但矩陣群和幾何圖形的對(duì)稱性同樣也是群的中心示例。

李群

Lie Group

李群是群論中的一個(gè)重要的特殊分支。它們具有代數(shù)結(jié)構(gòu)，但同時(shí)也是空間的子集，并且還包含幾何學(xué)；此外，它們的某些部分看起來(lái)就像歐幾里德空間，這使得我們可以對(duì)它們進(jìn)行解析（例如求解微分方程）。因此李群和其他拓?fù)淙何挥诩償?shù)學(xué)的不同領(lǐng)域的收斂處。

交換環(huán)和交換代數(shù)

Commutative rings and algebra

交換環(huán)是與整數(shù)集類似的集合，它允許加法和乘法。尤其有趣的是數(shù)論、域論和相關(guān)領(lǐng)域中的環(huán)。

結(jié)合環(huán)和結(jié)合代數(shù)

Associative rings and algebra

結(jié)合環(huán)論可被看作是交換環(huán)的非交換類比。它包括對(duì)矩陣環(huán)、可除環(huán)（如四元數(shù)），以及在群論中重要的環(huán)的研究。數(shù)學(xué)家開發(fā)了各種工具，以便能夠研究一般化的環(huán)。

非結(jié)合環(huán)和非結(jié)合代數(shù)

Nonassociative rings and algebras

非結(jié)合環(huán)論進(jìn)一步地拓寬了研究范圍。這里的通用理論較弱，但這種環(huán)的特殊情況是至關(guān)重要的：尤其是李代數(shù)，以及約當(dāng)代數(shù)和其他類型。

域論與多項(xiàng)式 

Field theory and polynomials

域論研究的是集合（如實(shí)數(shù)直線），所有一般的算術(shù)性質(zhì)都包含在實(shí)直線上，包括除法性質(zhì)。研究多場(chǎng)對(duì)多項(xiàng)式方程具有重要意義，因而它在數(shù)論和群論中也都具有應(yīng)用意義。

一般代數(shù)系統(tǒng)

General algebraic system

一般代數(shù)系統(tǒng)包括那些具有非常簡(jiǎn)單的公理構(gòu)成，以及那些不容易被包含在群、環(huán)、域或其他代數(shù)系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)。

代數(shù)幾何

Algebraic geometry

代數(shù)幾何將代數(shù)與幾何相結(jié)合，使二者彼此互利。例如，于1995年被證明的“費(fèi)馬大定理”，表面上看是關(guān)于數(shù)論的陳述，但其實(shí)是通過(guò)幾何工具才得以證明。反過(guò)來(lái)，由方程定義的集合的幾何性質(zhì)，是用復(fù)雜的代數(shù)機(jī)制來(lái)研究的。這是一個(gè)魅力非常的領(lǐng)域，許多重要的課題都非常深?yuàn)W，橢圓曲線就數(shù)其中之一。

線性代數(shù)

Linear algebra

線性代數(shù)，有時(shí)會(huì)被“喬裝”成矩陣論，它考慮的是能維持線性結(jié)構(gòu)的集合與函數(shù)。它涵蓋的數(shù)學(xué)范圍非常廣，包括公理處理、計(jì)算問(wèn)題、代數(shù)結(jié)構(gòu)，甚至幾何的一些部分；此外，它還為分析微分方程、統(tǒng)計(jì)過(guò)程甚至許多物理現(xiàn)象提供了重要的工具。

范疇論

Category theory

范疇論是一個(gè)相對(duì)較新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它為討論代數(shù)與幾何的各個(gè)領(lǐng)域提供了一個(gè)通用的框架。

K理論

K theory

K理論是代數(shù)與幾何的有趣結(jié)合。最初是為了拓?fù)淇臻g（向量叢）定義，現(xiàn)在也為環(huán)（模）定義，它為這些物體提供了額外的代數(shù)信息。

組合數(shù)學(xué)

Combinatorics

組合數(shù)學(xué)（或稱為離散數(shù)學(xué)）則著眼于集合的結(jié)構(gòu)，其中某些子集是可區(qū)分的。例如，一副圖是許多點(diǎn)的集合，其中一些邊（兩個(gè)點(diǎn)的集合）是給定的。其他的組合問(wèn)題要求對(duì)具有給定屬性的集合的子集進(jìn)行計(jì)數(shù)。這是一個(gè)很龐大的領(lǐng)域，計(jì)算機(jī)科學(xué)家和其他數(shù)學(xué)以外的人對(duì)此都非常感興趣。

序集合

Ordered sets

序集合（格）可以為例如一個(gè)域的子域集合，給出一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)。各種特殊類型的格都具有異常完好的結(jié)構(gòu)，并且應(yīng)用在群論和代數(shù)拓?fù)涞榷鄠€(gè)領(lǐng)域中。

幾何學(xué)

幾何學(xué)是數(shù)學(xué)中最古老的領(lǐng)域之一，幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，它經(jīng)歷了數(shù)次重生。從一個(gè)極端來(lái)看，幾何學(xué)包括對(duì)首次在歐幾里得的《幾何原本》中出現(xiàn)的剛性結(jié)構(gòu)的精確研究；從另一個(gè)極端來(lái)看，一般拓?fù)鋵W(xué)關(guān)注的是形狀之間最基本的親緣關(guān)系。代數(shù)幾何中也隱含著一個(gè)非常微妙的“幾何”概念，但如上文所注，它其實(shí)更偏向于代數(shù)。其他的一些也能算得上是幾何的領(lǐng)域有K理論、李群、多復(fù)變函數(shù)、變分算、整體分析與流行上的分析。

○  幾何學(xué)。| 圖片來(lái)源：NPI

幾何學(xué)

Geometry

幾何學(xué)是一門從多方面研究的學(xué)科。這一大塊區(qū)域包括經(jīng)典的歐幾里德幾何和非歐幾何、解析幾何、重合幾何（包括射影平面）、度規(guī)性質(zhì)（長(zhǎng)度與角度），還有組合幾何學(xué)——如從有限群論中出現(xiàn)的幾何。

流形

Manifolds

流形是像球體一樣的空間，從局部來(lái)看它像是歐幾里德空間。在這些空間里，我們可以討論（局部的）線性映射，還能討論函數(shù)的光滑性。它們還包括許多常見(jiàn)的表面。多面復(fù)形是由許多塊的歐幾里德空間的部分組成的空間。這些空間類型認(rèn)可關(guān)于映射與嵌入問(wèn)題的精確答案，它們尤其適用于代數(shù)拓?fù)渲械挠?jì)算，能細(xì)致的區(qū)分等價(jià)的各種不同概念。

凸幾何與離散幾何

Convex and discrete geometry

凸幾何與離散幾何包括對(duì)在歐幾里得空間中的凸子集的研究。它們包括對(duì)多邊形和多面體的研究，并經(jīng)常與離散數(shù)學(xué)和群論重合；分段線性流形讓它們與拓?fù)鋵W(xué)交叉。除此之外，這一領(lǐng)域也包括歐幾里得空間中的鑲嵌與堆積問(wèn)題。

微分幾何

Differential geometry

微分幾何是現(xiàn)代物理學(xué)的語(yǔ)言，也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一片樂(lè)土。通常，我們考慮的集合是流形（也就是說(shuō)，局部類似于歐幾里德空間），并且配備了距離度量。它包括對(duì)曲線和曲面的曲率研究。局域型問(wèn)題既適用又有助于微分方程的研究；整體型問(wèn)題會(huì)經(jīng)常調(diào)用代數(shù)拓?fù)洹?/span>

一般拓?fù)鋵W(xué)

General topology

一般拓?fù)鋵W(xué)研究的是只含有不精確定義的“閉合”（足以決定哪些函數(shù)是連續(xù)的）的空間。通常會(huì)研究一些帶有附加結(jié)構(gòu)的空間（比如度量空間，或者緊致豪斯多夫空間），并觀察一些屬性（如緊致）是如何與子空間、積空間等共享的。拓?fù)鋵W(xué)廣泛應(yīng)用于幾何學(xué)與分析學(xué)，也使得出現(xiàn)一些奇異的例子和集論難題。

代數(shù)拓?fù)?/span>

Algebraic topology

代數(shù)拓?fù)涫茄芯扛綄儆谕負(fù)淇臻g的代數(shù)對(duì)象，代數(shù)不變量說(shuō)明了空間的某些剛度。這包括各種（上）同調(diào)論、同倫群，以及一些更偏幾何的工具，例如纖維叢。其代數(shù)機(jī)制（主要來(lái)自同調(diào)代數(shù)）非常強(qiáng)大，使人生畏。

分析學(xué)

分析學(xué)研究的是從微積分和相關(guān)領(lǐng)域中獲得的結(jié)果。我們可以將它進(jìn)一步劃分為5個(gè)小部分：

• 微積分與實(shí)分析

• 復(fù)變量

• 微分方程與積分方程

• 泛函分析

• 數(shù)值分析與最優(yōu)化

○  分析學(xué)。| 圖片來(lái)源：NPI

【微積分與實(shí)分析】

實(shí)函數(shù)

Real functions

實(shí)函數(shù)是微積分課堂會(huì)介紹的內(nèi)容，其中的重點(diǎn)在于它們的導(dǎo)數(shù)和積分，以及一般的不等式。這一領(lǐng)域包括常見(jiàn)的函數(shù)，如有理函數(shù)，是最適合討論與初等微積分學(xué)的相關(guān)問(wèn)題的領(lǐng)域。

測(cè)度與積分

Measure and integration

測(cè)度論與積分研究的是一般空間的長(zhǎng)度、表面積和體積，是積分理論全面發(fā)展的一個(gè)關(guān)鍵特征，并且，它還為概率論提供了基本框架。

特殊函數(shù)

Special functions

特殊函數(shù)就是超出常見(jiàn)的三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的特定函數(shù)。被研究的那些領(lǐng)域（例如超幾何函數(shù)、正交多項(xiàng)式等等）會(huì)很自然的出現(xiàn)于分析、數(shù)論、李群和組合數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

差分方程與函數(shù)方程

Difference and functional equations

差分方程和函數(shù)方程都像微分方程一樣涉及到函數(shù)的推導(dǎo)，但它們的前提卻不盡相同：差分方程的定義關(guān)系不是微分方程，而是函數(shù)值的差。函數(shù)方程（通常）在幾個(gè)點(diǎn)上有函數(shù)值之間的代數(shù)關(guān)系作為前提。

序列與級(jí)數(shù)

Sequences and series

序列與級(jí)數(shù)實(shí)際上只是極限法中最常見(jiàn)的例子；收斂性判別準(zhǔn)則和收斂速度與找到“答案”同樣重要。（對(duì)于函數(shù)序列來(lái)說(shuō)，找到“問(wèn)題”也同樣重要。）一些特殊的級(jí)數(shù)（如已知函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)）以及用于快速求和的一般方法可引來(lái)很大的興趣。積分可被用來(lái)求級(jí)數(shù)，分析可用來(lái)求級(jí)數(shù)的穩(wěn)定性。級(jí)數(shù)的運(yùn)算（如乘法或逆運(yùn)算）也同樣是重要的課題。

【復(fù)變量】

復(fù)變函數(shù)

Functions of a complex variable

復(fù)變函數(shù)研究的是假設(shè)在復(fù)數(shù)上定義函數(shù)的可微性的影響。有趣的是，這種效應(yīng)與實(shí)函數(shù)有明顯不同，它們受到的約束要嚴(yán)格得多，特別是我們可以對(duì)它們的整體行為、收斂性等作出非常明確的評(píng)論。這一領(lǐng)域包括黎曼曲面，它們?cè)诰植靠雌饋?lái)像復(fù)平面，但卻并不是同一個(gè)空間。復(fù)變量技術(shù)在多個(gè)領(lǐng)域（例如電磁學(xué)）都具有很大的應(yīng)用。

位勢(shì)論

Potential theory

位勢(shì)論研究的是調(diào)和函數(shù)。從數(shù)學(xué)的角度上看，它們都是拉普拉斯方程Del(u)=0的解；從物理學(xué)的角度上看，它們是給整個(gè)空間提供（由質(zhì)量或電荷所產(chǎn)生的）勢(shì)能的函數(shù)。

多復(fù)變函數(shù)與解析空間

Several complex variable and analytic spaces

多復(fù)變函數(shù)研究的是一個(gè)以上的復(fù)變量的函數(shù)。由復(fù)可微性所賦予的嚴(yán)格約束意味著，至少在局部上，這些函數(shù)的行為與多項(xiàng)式幾乎一樣。對(duì)于相關(guān)空間的研究也趨向于與代數(shù)幾何類似，除了在代數(shù)結(jié)構(gòu)之外還使用了分析工具。在這些空間上的微分方程和它們的自同構(gòu)（automorphism）為其提供了與其他領(lǐng)域的有用連接。

【微分方程與積分方程】

常微分方程

Ordinary differential equations

常微分方程（ODE）是求解的未知數(shù)是一個(gè)函數(shù)、而非一個(gè)數(shù)值的方程，其中的已知信息會(huì)將這個(gè)未知函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)。這類方程很少有明確的答案，但會(huì)有大量的信息來(lái)定性地描述它們的解。微分方程有許多重要的類別，它們?cè)诠こ膛c科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣泛。

偏微分方程

Partial differential equations 

偏微分方程（PDE）的形式與常微分方程大體相同，只是偏微分方程試圖求解的函數(shù)含有的變量不止一個(gè)。在求解過(guò)程中，我們也同樣需要能定性描述它的解的信息。例如在許多情況下，只有當(dāng)某些參數(shù)屬于特定的集合（比如整數(shù)集）時(shí)，解才存在。它們與自然科學(xué)，尤其是物理、熱力學(xué)和量子力學(xué)有著非常密切的關(guān)系。

動(dòng)力系統(tǒng)與遍歷論

Dynamical systems and ergodic theory

動(dòng)力系統(tǒng)研究的是函數(shù)從空間到自身的迭代。理論上來(lái)說(shuō)這一領(lǐng)域與流形上的微分方程密切相關(guān)，但在實(shí)踐中，它的重點(diǎn)在于基礎(chǔ)的集合（例如不變集或極限集）以及極限系統(tǒng)的混沌行為。

積分方程

Integral equations

積分方程自然是要尋找滿足其積分關(guān)系的函數(shù)。例如，每一次的函數(shù)值都可能與之前所有時(shí)間的平均值有關(guān)。這一領(lǐng)域中包括混合了積分與微分的方程。微分方程的許多方面會(huì)反復(fù)出現(xiàn)，比如定性問(wèn)題、近似法，以及有助于簡(jiǎn)化問(wèn)題的變換與算子等。

變分法與最優(yōu)化

 Calculus of variations and optimization

變分法與最優(yōu)化尋找的是可以優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)或幾何對(duì)象。當(dāng)然，這還包括對(duì)尋找最優(yōu)結(jié)果所需d技術(shù)的探討，例如逐次逼近法或是線性規(guī)劃。除此之外，還存在大量用來(lái)建立與描述最優(yōu)解的研究。在許多情況下，最優(yōu)函數(shù)或最優(yōu)曲線可以表示為微分方程的解。常見(jiàn)的應(yīng)用包括尋找在某種意義上的最短曲線和最小曲面。該領(lǐng)域也適用于經(jīng)濟(jì)學(xué)或控制理論中的優(yōu)化問(wèn)題。

整體分析

Global analysis

整體分析（或流形分析）研究的是流形的微分方程的整體性質(zhì)。除了常微分方程理論中的一些適用于局部的工具之外，整體技術(shù)還包括使用映射的拓?fù)淇臻g。這一領(lǐng)域還與流形理論、無(wú)限維流形和奇點(diǎn)流形有關(guān)，因此也與突變理論相關(guān)。除此之外，它還涉及到優(yōu)化問(wèn)題，從而與變分法重疊。

【泛函分析】

泛函分析

Functional analysis

泛函分析研究的是微分方程的全局，例如它會(huì)將一個(gè)微分算子看作為一組函數(shù)的線性映射。因此，這個(gè)領(lǐng)域就變成了對(duì)（無(wú)限維的）向量空間的研究，這種向量空間具有某種度規(guī)或其他結(jié)構(gòu)，包括環(huán)結(jié)構(gòu)（例如巴拿赫代數(shù)和C*-代數(shù)）。度量、導(dǎo)數(shù)和對(duì)偶性的適當(dāng)一般化也屬于這一領(lǐng)域。

傅里葉分析

Fourier analysis

傅里葉分析利用三角多項(xiàng)式研究函數(shù)的近似與分解。這一領(lǐng)域在許多分析應(yīng)用中都具有不可估量的價(jià)值，它擁有許多具體而又強(qiáng)大的結(jié)果，包括收斂性判別準(zhǔn)則、估計(jì)和不等式以及存在唯一性結(jié)果。它的擴(kuò)展包括對(duì)奇異積分理論、傅里葉變換和適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)空間的研究。這一領(lǐng)域還包括其他的正交函數(shù)族的近似，包括正交多項(xiàng)式和小波。

抽象調(diào)和分析

Abstract harmonic analysis

抽象調(diào)和分析：如果說(shuō)傅里葉級(jí)數(shù)研究的是周期性的實(shí)函數(shù)，即在整數(shù)變換群下能維持不變的實(shí)函數(shù)，那么抽象調(diào)和分析研究的就是在一個(gè)子群下維持不變的一般群上的函數(shù)。它包括的主題涉及到特異性的不同等級(jí)，這又涉及到對(duì)李群或局部緊致阿貝爾群的分析。這一領(lǐng)域也與拓?fù)淙旱谋硎菊撚兄睾现帯?nbsp;   

積分變換

Integral transforms

積分變換包括傅里葉變換以及拉普拉斯變換、Radon變換等其他變換。除此之外它還包括卷積運(yùn)算與算子演算。

算子理論

Operator theory

算子理論研究泛函分析中的向量空間之間的變換，例如微分算子或自伴算子。分析可以研究單個(gè)算子的譜，也可以研究多個(gè)算子的半群結(jié)構(gòu)。

【數(shù)值分析與最優(yōu)化】

數(shù)值分析

Numerical analysis

數(shù)值分析涉及到數(shù)值數(shù)據(jù)的計(jì)算方法的研究。這在許多問(wèn)題中意味著要制造一系列的近似；因此，這些問(wèn)題涉及到收斂的速度、答案的準(zhǔn)確性（甚至是有效性）以及回應(yīng)的完整性（有很多問(wèn)題，我們很難從程序的終端中判斷它是否還存在其他解決方案）。數(shù)學(xué)上的許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為線性代數(shù)問(wèn)題——一個(gè)需要用數(shù)值方法來(lái)研究的領(lǐng)域；與之相關(guān)的重大問(wèn)題是處理初始數(shù)據(jù)所需的時(shí)間。微分方程的數(shù)值解需要確定的不僅是幾個(gè)數(shù)值，而是整個(gè)函數(shù)；尤其是收斂性必須由某種整體準(zhǔn)則來(lái)加以判斷。這一領(lǐng)域中還包括數(shù)值模擬、最優(yōu)化、圖形分析，以及開發(fā)文件的工作代碼等課題。

逼近與展開

Approximations and expansions

逼近與展開主要考慮的是用特殊類型的函數(shù)來(lái)逼近實(shí)函數(shù)。這包括使用線性函數(shù)、多項(xiàng)式（不僅僅是泰勒多項(xiàng)式）、有理函數(shù)的逼近；其中三角多項(xiàng)式的近似被劃分在傅里葉分析中。這一領(lǐng)域包括擬合優(yōu)度的判別標(biāo)準(zhǔn)、誤差范圍、逼近族的變化的穩(wěn)定性、以及在近似情況下保留的函數(shù)特性（如可微性）。有效的技術(shù)對(duì)于特定種類的逼近也是很有價(jià)值的。這一領(lǐng)域也同樣覆蓋了插值與樣條。

運(yùn)籌學(xué)/數(shù)學(xué)規(guī)劃

Operations research, mathematical programming

運(yùn)籌學(xué)被喻為是研究最佳資源分配的領(lǐng)域。根據(jù)設(shè)置中的選項(xiàng)和約束，它可以涉及到線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、凸規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃或布爾規(guī)劃。這一類別中也包括博弈論，博弈論實(shí)際上并不是關(guān)于博弈的課題，而是關(guān)于最優(yōu)化，它研究的是哪一種策略組合能產(chǎn)出最佳結(jié)果。這一領(lǐng)域還包括數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)。

應(yīng)用數(shù)學(xué)

現(xiàn)在我們來(lái)談?wù)勗S多人最關(guān)心的數(shù)學(xué)部分——發(fā)展能將數(shù)學(xué)運(yùn)用到數(shù)學(xué)領(lǐng)域之外的數(shù)學(xué)工具。

○  應(yīng)用數(shù)學(xué)。| 圖片來(lái)源：NPI

概率論與隨機(jī)過(guò)程

Probability theory and stochastic processes

概率論應(yīng)用于有限集合時(shí)就是簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)組合分析，因此其技術(shù)與結(jié)果都與離散數(shù)學(xué)類似。當(dāng)考慮無(wú)窮的可能結(jié)果集時(shí)，這個(gè)理論就得以體現(xiàn)它的價(jià)值。它涉及到大量的測(cè)度論以及對(duì)結(jié)果詳細(xì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忉尅８嗟姆治鍪请S著對(duì)分布函數(shù)的研究而進(jìn)入到這一領(lǐng)域的，極限定理則暗示著集中趨勢(shì)。應(yīng)用于重復(fù)的轉(zhuǎn)移或隨時(shí)間的轉(zhuǎn)移會(huì)導(dǎo)致馬爾科夫過(guò)程和隨機(jī)過(guò)程。在考慮隨機(jī)結(jié)構(gòu)時(shí)，概率的概念會(huì)應(yīng)用到數(shù)學(xué)中，尤其是在某些情況下，它可以產(chǎn)生甚至對(duì)純數(shù)學(xué)都非常好的算法。

統(tǒng)計(jì)學(xué)

Statistics

統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門從數(shù)據(jù)中獲取、合成、預(yù)測(cè)并作出推論的科學(xué)。對(duì)平均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差的基本計(jì)算足以概括一個(gè)大的、有限的、正態(tài)分布的數(shù)據(jù)集；之所以有統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的存在，是因?yàn)閿?shù)據(jù)通常并不會(huì)被很好地呈現(xiàn)。如果我們不知道數(shù)據(jù)集中的所有元素，我們就必須討論采樣和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)；如果數(shù)據(jù)有不正常之處，就需要我們用其他參數(shù)或者采用非參數(shù)方法對(duì)它們進(jìn)行匯總；當(dāng)涉及到多個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，我們需研究不同變量之間的交互的度量。其他的研究課題包括對(duì)時(shí)間相關(guān)數(shù)據(jù)的研究，以及避免歧義或悖論的必要基礎(chǔ)。它的計(jì)算方法（例如曲線擬合）對(duì)科學(xué)、工程以及金融和精算等領(lǐng)域的工作都具有特別重要的應(yīng)用意義。

計(jì)算機(jī)科學(xué)

Computer science

計(jì)算機(jī)科學(xué)，如今它更是一門獨(dú)立的學(xué)科，它研究很多數(shù)學(xué)方面的問(wèn)題。在這一領(lǐng)域中，除了從離散數(shù)學(xué)里的許多問(wèn)題中所產(chǎn)生的可計(jì)算性問(wèn)題，以及與遞歸論相關(guān)的邏輯問(wèn)題之外，它還考慮調(diào)度問(wèn)題、隨機(jī)模型等等。

信息與通信

Information and communication

信息與通信包括一些代數(shù)學(xué)家特別感興趣的問(wèn)題，尤其是編碼理論（與線性代數(shù)和有限群有關(guān)）和加密（與數(shù)論和組合數(shù)學(xué)有關(guān)）。許多適合這個(gè)領(lǐng)域的主題都可以用圖論的術(shù)語(yǔ)來(lái)表達(dá)，例如網(wǎng)絡(luò)流和電路設(shè)計(jì)。數(shù)據(jù)壓縮和可視化都與統(tǒng)計(jì)有重疊部分。

質(zhì)點(diǎn)力學(xué)和系統(tǒng)力學(xué)

Mechanics of particles and systems

質(zhì)點(diǎn)力學(xué)和系統(tǒng)力學(xué)研究的是粒子或固體的動(dòng)力學(xué)，它包括旋轉(zhuǎn)與振動(dòng)的物體。會(huì)用到變分原理（能量最小化）和微分方程。

固體力學(xué)

Mechanics of solids

固體力學(xué)考慮的是彈性與塑性、波傳播、工程，以及土壤和晶體等特定固體的問(wèn)題。

流體力學(xué)

Fluid mechanics

流體力學(xué)研究的是空氣、水和其他流體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題：壓縮、湍流、擴(kuò)散、波傳播等等。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，這包括對(duì)微分方程解的研究，這就涉及到大規(guī)模的數(shù)值計(jì)算方法（例如有限元法）。

光學(xué)/電磁理論

Optics, electromagnetic theory

光學(xué)、電磁理論是研究電磁波的傳播與演化的理論，它包括的主題有干涉和衍射。除了分析的一些普通分支，這一領(lǐng)域還涉及到一些與幾何相關(guān)的主題，比如光線的傳播路徑。

經(jīng)典熱力學(xué)/熱傳導(dǎo)

Classical thermodynamics, heat transfer 

經(jīng)典熱力學(xué)和熱傳導(dǎo)研究的是熱量在物質(zhì)中的流動(dòng)，這包括相變和燃燒。從歷史的角度來(lái)看，它是傅里葉級(jí)數(shù)的起源。

量子理論

Quantum Theory

量子理論研究的是薛定諤（微分）方程的解，與此同時(shí)它還包括大量的李群理論和量子群論、分布理論，以及與泛函分析、楊-米爾斯問(wèn)題、費(fèi)曼圖等有關(guān)的問(wèn)題。

統(tǒng)計(jì)力學(xué)/物質(zhì)結(jié)構(gòu)

Statistical mechanics, structure of matter

統(tǒng)計(jì)力學(xué)和物質(zhì)結(jié)構(gòu)研究的是粒子的大尺度系統(tǒng)，它包括隨機(jī)系統(tǒng)和運(yùn)動(dòng)或進(jìn)化系統(tǒng)。研究的具體物質(zhì)類型包括液體、晶體、金屬和其他固體。

相對(duì)論與引力理論

Relativity and gravitational theory

相對(duì)論與引力理論將微分幾何、分析和群論應(yīng)用于一些大尺度或極端情況下的物理學(xué)（例如黑洞和宇宙學(xué)）。

天文學(xué)和天體物理學(xué)

Astronomy and astrophysics

天文學(xué)和天體物理學(xué)：由于天體力學(xué)在數(shù)學(xué)上是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的一部分，因此這一領(lǐng)域的主要應(yīng)用大多與恒星和星系的結(jié)構(gòu)、演化以及相互作用有關(guān)。

地球物理

Geophysics

地球物理學(xué)的應(yīng)用通常涉及到力學(xué)和流體力學(xué)，但它是在大尺度上研究問(wèn)題。

系統(tǒng)論/控制論

Systems theory; control

系統(tǒng)論以及控制論研究的是復(fù)雜系統(tǒng)（如工程系統(tǒng)）隨著時(shí)間發(fā)生的演化。特別是，人們可能會(huì)試圖對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行識(shí)別（即確定主導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)展的方程或參數(shù)），或?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行控制（即通過(guò)選擇某些參數(shù)以達(dá)到期望的狀態(tài)）。特別令人感興趣的是穩(wěn)定性問(wèn)題，以及隨機(jī)變化和噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響。雖然這通常屬于“控制論”或“機(jī)器人學(xué)”領(lǐng)域，但在實(shí)踐中，這是微分（或差分）方程、泛函分析、數(shù)值分析和整體分析（或微分幾何）的應(yīng)用領(lǐng)域。

生物學(xué)與其他科學(xué)

Biology and other sciences

數(shù)學(xué)還與許多學(xué)科（包括化學(xué)、生物學(xué)、遺傳學(xué)、醫(yī)學(xué)、心理學(xué)、社會(huì)學(xué)和其他社會(huì)科學(xué)）具有明確的聯(lián)系。在化學(xué)和生物化學(xué)中，圖論、微分幾何和微分方程的作用是顯而易見(jiàn)的。醫(yī)學(xué)技術(shù)必須用到信息傳遞和可視化的技術(shù)。生物學(xué)（包括分類學(xué)和考古生物學(xué)）會(huì)使用統(tǒng)計(jì)推斷和其他工具。經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)也大量使用到統(tǒng)計(jì)學(xué)工具，尤其是時(shí)間序列分析；有一些主題更具有組合性，例如投票理論。（出于某些原因，數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)被歸在運(yùn)籌學(xué)的范疇內(nèi)。）更多的行為科學(xué)（包括語(yǔ)言學(xué)）都會(huì)用到大量的統(tǒng)計(jì)技術(shù)，其中會(huì)涉及到實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和其他偏組合類的主題。

以上羅列的便是數(shù)學(xué)家所從事的研究，但絕對(duì)不是唯一的分類標(biāo)準(zhǔn)，而且我們也沒(méi)能完整地羅列出所有的領(lǐng)域，比如數(shù)學(xué)家還研究量子代數(shù)（quantum algebra）、分形學(xué)（Fractal）、數(shù)學(xué)史以及數(shù)學(xué)教育等等。

對(duì)于許多人而言，數(shù)學(xué)是個(gè)非常抽象、難以理解的學(xué)科，特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，更是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了非專業(yè)人士的理解范圍。但對(duì)于數(shù)學(xué)家而言，那些抽象的概念、符號(hào)、證明，猶如美妙的樂(lè)章一般，使他們沉醉其中。而數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不合理的有效性更是令人難以理解的奇跡。正如諾獎(jiǎng)得主尤金·維格納寫道的那樣：“數(shù)學(xué)語(yǔ)言在表述自然規(guī)律時(shí)的適當(dāng)性是一項(xiàng)奇跡，它是我們既不理解也不配擁有的奇妙天賜。我們應(yīng)當(dāng)感激，也希望它在未來(lái)的研究中仍然有效。而且不論是好是壞，當(dāng)我們盡情拓展知識(shí)領(lǐng)域時(shí)，即使會(huì)令我們困惑，也依舊成立?！?/span>

文：正恩/圖：pany