今天，我們將探討“熵”和“熱力學(xué)第二定律”。這是非常重要的概念，因?yàn)檫@將解決關(guān)于我們生活的世界的深刻問題，例如為什么我們只能記住過去，而不是未來。它還跟信息理論、計(jì)算、甚至是黑洞物理學(xué)有關(guān)。在今天探索的過程中，我們還將遇到科學(xué)中最重要的公式之一。

多而不同

假設(shè)你已經(jīng)掌握了理論物理學(xué)的一切——你知道所有的自然基本定律、基本粒子的性質(zhì)以及粒子之間的相互作用。現(xiàn)在問題是，你要如何將這些知識(shí)轉(zhuǎn)化為對(duì)我們周圍世界的理解？

讓我們來思考以下這杯水：

在這杯水中，包含了大約10²⁴個(gè)原子。事實(shí)上，任何宏觀物體都包含著如此巨大的粒子數(shù)量。那么，我們要如何描述這樣的系統(tǒng)呢?

寫下所有10²⁴個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)方程，并對(duì)它們求解？——這種方法肯定是不切實(shí)際的。即使我們有能力處理這樣的計(jì)算量，我們又如何處理計(jì)算結(jié)果？要知道我們對(duì)單個(gè)粒子的位置并不感興趣。我們想要知道的是與宏觀物體有關(guān)的更基本問題的答案。它是濕的？是冷的？是什么顏色？如果加熱它會(huì)發(fā)生什么？如何從物理學(xué)的基本定律來回答這些問題？

統(tǒng)計(jì)力學(xué)就是一門將微觀物理定律轉(zhuǎn)化為對(duì)宏觀日常世界的描述的藝術(shù)。當(dāng)我們把10²⁴個(gè)粒子放在一起時(shí)，有趣的事情就發(fā)生了。多而不同——有一些關(guān)鍵的概念在基本的物理定律中是看不見的，只有在我們考慮大量的粒子集合時(shí)才會(huì)出現(xiàn)。溫度就是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。這顯然不是一個(gè)基本的概念——談?wù)搯蝹€(gè)電子的溫度毫無意義。但在我們生活的世界，溫度扮演著重要的角色。時(shí)間是另一個(gè)例子：過去與未來的區(qū)別是什么？讓我們從這里開始今天的探索之旅。

未來與過去的區(qū)別

自然界中充滿了不可逆轉(zhuǎn)的現(xiàn)象：它們易于發(fā)生，卻又不可能以相反的順序發(fā)生。例如掉在地上的雞蛋會(huì)破碎，但不太可能會(huì)“破蛋重圓”。事情總是朝著一個(gè)方向發(fā)展，而不是另一個(gè)方向。我們記得過去，卻不記得未來。

這種不可逆性和時(shí)間之箭究竟從何而來？它被譜寫在了微觀物理定律中嗎？微觀定律能區(qū)分過去和未來嗎？問題聽上去并不簡(jiǎn)單。事實(shí)上，物理學(xué)的基本定律是完全可逆的。這里舉一個(gè)大家都熟悉的例子，牛頓定律在描述現(xiàn)實(shí)世界方面異常成功，它解釋了為何蘋果會(huì)從樹上落向地面，以及為何地球會(huì)圍繞太陽運(yùn)行。但是，牛頓定律存在一個(gè)奇怪的問題，那就是在這一體系下，這些事件在逆轉(zhuǎn)的時(shí)間內(nèi)運(yùn)轉(zhuǎn)也一樣成立。因?yàn)榕ｎD方程的任何解都可以反推，并仍得到一個(gè)解。換句話說，無論行星是繞著恒星朝一個(gè)方向還是另一個(gè)方向轉(zhuǎn)，都只是涉及到初速度的問題。萬有引力定律是時(shí)間可逆的。類似地，電和磁的定律也是時(shí)間可逆的。所有的與創(chuàng)造我們?nèi)粘ｓw驗(yàn)相關(guān)的基本定律皆是如此。物理學(xué)定律似乎根本就不在乎時(shí)間是向前流逝還是倒流回去。

那么，過去和未來的區(qū)別究竟在哪里？可逆的微觀定律如何導(dǎo)致明顯不可逆的宏觀行為？要理解這一點(diǎn)，我們必須引入概念——熵（Entropy）。

熵和第二定律

我們從熵的模糊定義開始，它表示了系統(tǒng)的無序量。粗略地說，我們所說的“有序”是一種有目的安排態(tài)，而“無序”是一種隨機(jī)態(tài)。例如，將冰塊放入一杯水中。這就形成了一種高度有序的，或者說低熵的結(jié)構(gòu)：一個(gè)角落里是冰，其他的是水。讓冰塊在角落中自身自滅，它會(huì)慢慢地融化，最終冰分子會(huì)和水混合：

最終的混合態(tài)就沒那么有序了，或者說處于高熵的狀態(tài)。

同樣地，咖啡和牛奶的自然傾向是混合，而不是分離：

熱力學(xué)第二定律總結(jié)了這些生活中的基本事實(shí)：

一個(gè)孤立系統(tǒng)中的熵總是在增加。

對(duì)于19世紀(jì)末的物理學(xué)家而言，第二定律是個(gè)嚴(yán)重的悖論。他們知道微觀物理定律是時(shí)間可逆的。所以如果熵既然可以增加，那么根據(jù)物理定律它也必須可以減少。但是，生活經(jīng)驗(yàn)卻告訴并非如此。熵總是增加的。

就在這時(shí)，天才路德維希·玻爾茲曼登場(chǎng)了。他意識(shí)到，第二定律與牛頓的引力定律或者法拉第的感應(yīng)定律并不一樣——它是一個(gè)概率性的定律！試想一下，當(dāng)你將一枚硬幣拋一百萬次的時(shí)候，你會(huì)得到一百萬個(gè)“正”嗎？——顯然不太會(huì)。但這可能嗎？——是有可能的，它并沒有違反任何物理定律。可能性大嗎？——非常小。而這正是玻爾茲曼對(duì)第二定律的闡述：與其說熵不會(huì)減少，不如說

熵可能不會(huì)減少。

換句話說，熵可以減少，只是非常不可能。這就是1個(gè)（或者幾個(gè)）和10²⁴個(gè)的區(qū)別再次重要的地方。少量的粒子相比于10²⁴個(gè)粒子更有可能自發(fā)的做一些瘋狂的事情。第二定律出現(xiàn)在大量的粒子中。

這也意味著如果你等待的時(shí)間足夠長(zhǎng)，你最終會(huì)看到熵減少：

• 在偶然的機(jī)會(huì)下，粒子和塵埃會(huì)聚集在一起，形成一個(gè)完美組合的炸彈。但是，這需要多長(zhǎng)時(shí)間呢？很長(zhǎng)很長(zhǎng)的一段時(shí)間。比連續(xù)拋一百萬個(gè)正面的時(shí)間還要長(zhǎng)得多，甚至比宇宙的年齡還要長(zhǎng)得多。

• 想象一下，往一杯水中滴了一滴黑墨水。墨水?dāng)U散開來，最終使水變成灰色。一杯灰色的水會(huì)再次變得清澈，并產(chǎn)生一小滴墨水嗎？這并非不可能，但也不太可能。

• 在你身處的房間中，空氣均勻地分布著。有沒有可能所有的空氣分子都在房間的一個(gè)角落里聚集起來，而剩下的都是真空嗎？這也并非不可能，但也不太可能會(huì)發(fā)生。
  

到這里，一切聽起來都可能有點(diǎn)哲學(xué)意味，現(xiàn)在就讓我們把事情變得更加精確一些。首先我們要給出三個(gè)相關(guān)概念的定義：微觀狀態(tài)、宏觀狀態(tài)和統(tǒng)計(jì)熵。

作為一個(gè)具體的例子，考慮一個(gè)盒子里的N個(gè)粒子的集合。如果一個(gè)粒子在盒子的左半邊，我們說它處于態(tài)L；如果在右半邊，我們說它在態(tài)R。

我們通過列出每個(gè)粒子的狀態(tài)（無論是L還是R）來指定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)。例如，N=10個(gè)粒子，幾個(gè)可能的微觀狀態(tài)是：

可能的微觀狀態(tài)的總數(shù)為2^N（每個(gè)粒子有兩種可能）。對(duì)于N=10²⁴個(gè)粒子，這將是一個(gè)非常大的數(shù)字。幸運(yùn)的是，我們從來不需要列出所有可能的微觀狀態(tài)。所有的宏觀性質(zhì)只取決于左右粒子的相對(duì)數(shù)量，而不取決于哪個(gè)粒子在左、哪個(gè)粒子在右這種細(xì)節(jié)。

現(xiàn)在，我們定義系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)：

那么在一個(gè)給定的宏觀狀態(tài)中，有多少個(gè)微觀狀態(tài)？我們還以N = 10為例。對(duì)于n = 10和n =?10的情況，它們各自只對(duì)應(yīng)一個(gè)唯一的微觀狀態(tài)——粒子全在左邊和粒子全在右邊。對(duì)于n=8（9個(gè)在左邊，1個(gè)在右邊），就有10種方式將這10個(gè)粒子的一個(gè)粒子放在右邊，其他9個(gè)放左邊，所以我們得到10個(gè)可能的微觀狀態(tài)。對(duì)于n = 0（左和右的數(shù)量相等），我們得到252個(gè)微觀狀態(tài)。每個(gè)宏觀狀態(tài)的微觀狀態(tài)數(shù)的完整分布如下圖所示:

現(xiàn)在，設(shè)W(n)是使N個(gè)粒子在左邊有N_L個(gè)粒子，在右邊有N_R個(gè)粒子的方法數(shù)。我們可以得到：

□ 符號(hào)“！”代表階乘，比如4!=4×3×2×1。

要對(duì)非常大的N求階乘，你的計(jì)算器可能會(huì)想罷工。此時(shí)，正態(tài)分布是一個(gè)很好的近似

到目前為止，我們只涉及到了基本的組合學(xué)。在此基礎(chǔ)上，我們補(bǔ)充了統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本假設(shè)：

每個(gè)微觀狀態(tài)都有相同的可能。

因此，由更多微觀狀態(tài)組成的宏觀狀態(tài)更有可能出現(xiàn)。接著，玻爾茲曼將特定宏觀狀態(tài)的熵定義為微觀狀態(tài)數(shù)的對(duì)數(shù)

其中k=1.38 × 10^-23J K^-1是玻爾茲曼常數(shù)。玻爾茲曼常數(shù)的作用就是使單位正確。這個(gè)方程無疑是所有科學(xué)中最重要的方程之一，與牛頓的F=ma和愛因斯坦的E=mc2平起平坐。它連接了原子的微觀世界（W）和我們觀察到的宏觀世界（S）。而這正是我們所尋找的！

根據(jù)統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基本假設(shè)（每個(gè)微觀狀態(tài)都具有相同的可能性），我們期待系統(tǒng)自然地向與大量微觀狀態(tài)對(duì)應(yīng)的宏觀狀態(tài)發(fā)展，因此擁有更大的熵

此時(shí)，我們已越來越接近于對(duì)第二定律的微觀理解。

有了這個(gè)視角，我們現(xiàn)在回到一個(gè)問題：由許多粒子組成的系統(tǒng)的宏觀特征，是如何隨著單個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)結(jié)果而演化的？

現(xiàn)在，將一個(gè)盒子用隔板分成相等的兩格，隔板上有一個(gè)洞。氣體分子可以在盒子的內(nèi)側(cè)反彈，且通常會(huì)從中間的隔板反彈，但每隔一段時(shí)間它們就會(huì)其中的一格溜到另一格。例如，我們可以想象，在1000次分子與中間隔板的作用中，995次會(huì)從隔板上彈回，還有5次它們穿過了洞并跑到了另一格。所以，每一秒鐘，在左邊格子的每個(gè)分子都有99.5%的機(jī)會(huì)停留在這一格，0.5%的機(jī)會(huì)跑到另一格，右邊格子中的分子也有著相同的經(jīng)歷。

這個(gè)規(guī)則是完美地詮釋了時(shí)間反演不變性——如果你制作了一個(gè)視頻，來顯示一個(gè)遵循該規(guī)則的粒子的運(yùn)動(dòng)，你就不能分辨它是在時(shí)間的方向上朝前還是向后移動(dòng)。在單個(gè)粒子的層面上，我們無法區(qū)分過去和未來。

然而，讓我們從一個(gè)更宏觀的角度來看這個(gè)演變過程：

盒子里有N = 2000個(gè)分子，從時(shí)間t = 1開始，左邊有1600個(gè)分子右邊只有400個(gè)。接著會(huì)發(fā)生什么并不奇怪：由于左邊的分子更多，所以從左到右的分子總數(shù)通常會(huì)大于從右到左的分子總數(shù)。50秒后，數(shù)字開始趨于相等，200秒后，分布基本相等。這個(gè)盒子清楚地顯示了一個(gè)時(shí)間箭頭。這和冰塊融化或者牛奶在咖啡中擴(kuò)散是完全一樣的。

很容易可以看出，這與第二定律是一致的。運(yùn)用上述提到的W(n)和S的兩個(gè)公式，我們可以在任何時(shí)刻將熵與系統(tǒng)聯(lián)系起來。熵的演化圖看起來就像這樣：

熵與信息

1871年，麥克斯韋提出了一個(gè)著名的思想實(shí)驗(yàn)來挑戰(zhàn)第二定律。

這個(gè)思想實(shí)驗(yàn)的裝置和之前一樣：一盒氣體被隔板一分為二。然而，這一次，洞口處有一扇可控制的小門，可以在無需消耗明顯能量的情況下被打開和關(guān)閉。盒子的每一邊都包含有相同平均速度（即相同速度）的等量分子。我們可以把分子分為兩類：移動(dòng)速度比平均速度快的分子，我們稱它們?yōu)榧t色分子；移動(dòng)速度比平均速度慢的稱為藍(lán)色分子。一開始，氣體是完全混合的（兩邊紅色和藍(lán)色的數(shù)量相等，即最大熵）。在門上坐著一個(gè)惡魔，他盯著從左邊來的分子。每當(dāng)他看到一個(gè)快速移動(dòng)的紅色分子靠近洞口時(shí)，他就會(huì)把門打開。當(dāng)分子是藍(lán)色的時(shí)候，他就緊閉著門。通過這種方式，惡魔“分離”了紅色和藍(lán)色的分子，盒子左邊變得更冷，右邊變得更熱。我們可以運(yùn)用這種溫差在不需要輸入任何能量的情況下來驅(qū)動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)：一臺(tái)永動(dòng)機(jī)。顯然，這看起來違反了第二定律。究竟發(fā)生了什么？

麥克斯韋妖以及它對(duì)第二定律的威脅已被爭(zhēng)論了一個(gè)多世紀(jì)。若要拯救第二定律，那么在某個(gè)地方必須對(duì)熵作出一個(gè)補(bǔ)償性增加。熵能進(jìn)入的只有一個(gè)地方：惡魔。那么惡魔在執(zhí)行他的惡魔任務(wù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生熵嗎？答案是肯定的，但是它的運(yùn)作方式非常巧妙，而且直到麥克斯韋妖被提出的一百多年后，才被西拉德（Leo Szilard）、蘭道爾（Rolf Landauer）和貝內(nèi)特（Charles Bennett）所理解。這個(gè)解決方案依賴于統(tǒng)計(jì)力學(xué)和信息理論之間的一種迷人聯(lián)系。

1929年，西拉德將惡魔帶入了信息時(shí)代。特別是，他指出

信息是物理的。

擁有信息使我們可以從一個(gè)系統(tǒng)中運(yùn)用本不可能的方式提取出有用的信息。通過一種新版本的麥克斯韋妖，西拉德得出了精妙的見解：這一次盒子里只有一個(gè)分子，盒子的兩面內(nèi)壁被活塞所取代（下圖①）。

一個(gè)沒有洞的隔板被置于盒子的中間。分子在其中的一邊，另一邊是空的（上圖②）。惡魔測(cè)量并記錄氣體分子在隔板的哪一邊，從而獲取一比特（bit）信息。然后他把活塞推進(jìn)去，將空的半邊合上了（上圖③）。

在沒有摩擦的情況下，這個(gè)過程不需要任何能量?，F(xiàn)在請(qǐng)注意信息在此設(shè)置中所起到的關(guān)鍵作用。如果惡魔不知道分子在盒子里的哪一半，他就不知道該把哪個(gè)活塞推進(jìn)去。在去除隔板后，分子會(huì)與活塞發(fā)生碰撞，使一個(gè)分子的氣體”膨脹”了（上圖④）。

通過這種方式，我們可以使用系統(tǒng)來做有用的功（例如通過驅(qū)動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)）。那么，能量從何而來？來自溫度為T的環(huán)境中的熱量Q。

當(dāng)氣體從V_i=V膨脹到V_f=2V時(shí)所做的功（W）由熱力學(xué)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)公式給出：

最后，系統(tǒng)返回到初始狀態(tài)。

這樣，一整個(gè)操作周期就完成了。整個(gè)過程是可重復(fù)的。在循環(huán)過程中，每個(gè)循環(huán)都從周圍環(huán)境中提取熱量并將其轉(zhuǎn)化為有用的功。惡魔似乎創(chuàng)造了第二種永動(dòng)機(jī)。特別是，在循環(huán)的每個(gè)階段，熵減少了?S = ?Q/T （另一個(gè)經(jīng)典熱力學(xué)公式）。使用?Q =??W，我們發(fā)現(xiàn)

西拉德的惡魔似乎又違反了第二定律。

1982年，貝內(nèi)特觀測(cè)到西拉德的發(fā)動(dòng)機(jī)并不真的是一個(gè)閉合循環(huán)。雖然在每個(gè)循環(huán)之后盒子恢復(fù)到它最初的狀態(tài)，但惡魔的心智并沒有！他記錄了一比特信息。惡魔需要抹去儲(chǔ)存在他腦中的信息，才能使這個(gè)過程真正循環(huán)。然而，蘭道爾在1961年就已經(jīng)指出，信息的刪除必然是一個(gè)不可逆轉(zhuǎn)的過程。尤其是摧毀一比特的信息至少會(huì)將這個(gè)世界的熵增加

這就是麥克斯韋妖的現(xiàn)代解法：惡魔必須收集并儲(chǔ)存關(guān)于分子的信息。如果惡魔的記憶容量有限，他就不能無期限地冷卻氣體；最終，信息必須被刪除。在那一刻，他終于為他實(shí)現(xiàn)的冷卻支付了熵賬單。（如果惡魔沒有刪除記錄，或者我們想在刪除之前進(jìn)行熱力學(xué)計(jì)算，那么我們應(yīng)該將一些熵與記錄的信息聯(lián)系起來。）

熵與黑洞

黑洞——宇宙中最奇妙的存在。它的引力是如此的強(qiáng)大，以至于連光進(jìn)入到它的掌控范圍都無法逃脫。黑洞的基本結(jié)構(gòu)包括了隱藏在一個(gè)事件視界內(nèi)的奇點(diǎn)。在事件視界內(nèi)，逃逸速度（V_逃逸）超過了光速（c），因此一旦物體落入就永遠(yuǎn)被困住了。

每個(gè)黑洞都只需要用三個(gè)數(shù)字描述，即質(zhì)量、自旋和電荷。無論黑洞是如何形成的，所有的信息都被簡(jiǎn)化為這三個(gè)數(shù)字。用一句話可總結(jié)為：

黑洞無毛。

這意味著，如果我們把一本書扔進(jìn)黑洞，它會(huì)改變黑洞的質(zhì)量（可能還有自旋和電荷），但所有關(guān)于書的內(nèi)容的信息看起來都永遠(yuǎn)消失了。黑洞真的摧毀了信息嗎？它們摧毀了熵嗎？它們違反了第二定律嗎？

如果黑洞自身具有熵，并且當(dāng)物體落入黑洞時(shí)熵增加了，那么第二定律就可以被挽救。1973年，普林斯頓大學(xué)的研究生貝肯斯坦（Jacob Bekenstein）認(rèn)為，這確實(shí)是解決方案。事實(shí)上，在黑洞的演化和熱力學(xué)定律之間，存在一些非常有意思的類比。例如熱力學(xué)第二定律表明，熵永遠(yuǎn)不會(huì)減少；而黑洞的質(zhì)量也同樣（或等同于事件視界的面積A=4πr2∝M2）從未減少。將一個(gè)物體扔進(jìn)黑洞，黑洞就會(huì)變大。貝肯斯坦認(rèn)為，這不僅僅是一個(gè)簡(jiǎn)單的類比。他推測(cè)，黑洞的熵實(shí)際上與它們的大小成正比：

當(dāng)霍金聽到這樣的想法時(shí)，他認(rèn)為這太瘋狂了！如果黑洞有熵，也有溫度，就可以證明它們必須釋放輻射。但是人人都知道——黑洞是黑的！

因此，霍金打算證明貝肯斯坦是錯(cuò)誤的，但結(jié)果他失敗了！相反，他發(fā)現(xiàn)的結(jié)果相當(dāng)驚人：黑洞不黑！它們確實(shí)會(huì)發(fā)出輻射，也確實(shí)攜帶著大量的熵。

量子力學(xué)是理解這一點(diǎn)的關(guān)鍵：在量子力學(xué)中，真空是一個(gè)有趣的地方。根據(jù)海森堡的不確定性關(guān)系，沒有什么是完全空的。

相反，粒子和反粒子對(duì)可以在真空中自發(fā)出現(xiàn)：

然而，它們只是虛粒子，只能在彼此湮滅之前存在一段非常短暫的時(shí)間。

如果粒子-反粒子對(duì)碰巧在黑洞的事件視界附近產(chǎn)生，故事的走向就會(huì)被完全改變。在這種情況下，這一對(duì)中的一個(gè)可能會(huì)墜入黑洞，永遠(yuǎn)消失。而失去了湮滅伙伴的第二個(gè)粒子將變成真實(shí)的：

黑洞外的觀測(cè)者將以霍金輻射的形式探測(cè)到這些粒子。

通過分析這一過程，霍金證實(shí)了貝肯斯坦的猜測(cè)。事實(shí)上，他做的遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些。他還推導(dǎo)出了黑洞熵的精確表達(dá)式：

公式中的l_p是普朗克長(zhǎng)度，在這個(gè)尺度下，量子力學(xué)和引力效應(yīng)變得同樣重要。普朗克長(zhǎng)度為：

黑洞熵方程是一個(gè)非常重要的公式：它把熵和熱力學(xué)與量子引力聯(lián)系了起來。因此，這是關(guān)于統(tǒng)一引力和量子力學(xué)的最重要的線索。

玻爾茲曼熵理論的巨大成功在于，他能夠用微觀成分的計(jì)數(shù)來解釋可觀測(cè)的宏觀數(shù)量——熵?；艚痍P(guān)于黑洞熵的公式似乎在告訴我們，與任何特定的宏觀黑洞相對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)有很多：

這些微觀狀態(tài)是什么？它們?cè)诮?jīng)典引力（黑洞無毛）中并不明顯。最終，它們一定是量子引力的態(tài)。弦理論在這方面取得了一些進(jìn)展，弦理論是量子引力的最佳候選理論。1996年，Andy Strominger和Cumrun Vafa從弦理論（弦和高維膜）自由度的微觀計(jì)數(shù)中得到了黑洞熵。他們恰好得到了黑洞熵的方程，包括重要的因子：1/4。