上一節(jié)我們梳理了概率與梳理統(tǒng)計中部分核心概念，這講繼續(xù)。

例題分析：將n只球放到N個盒子中（N>=n），試求每個盒子放一個球的概率是多少？

樣本空間：n個小球放到N個盒子中有多少種方法，每個球都有N種方法，一共有N*N*N...N,n個球；

A事件：每個盒子放一個球的放法，N*N-1*N-2...N*（N-n+1)

P(A)就為兩式相除。

以上是古典概型的簡單應(yīng)用，當(dāng)然可以結(jié)合概率的性質(zhì)解更為復(fù)雜的問題，比如把A變成AUB，用加法公式結(jié)合古典概型應(yīng)用。不做過多的復(fù)雜講解，回歸概率的整體脈絡(luò)，我們針對問題具體分析就好，關(guān)鍵要用對模型。

今天講另外幾個重點(diǎn)的概念：

1、條件概率：故名思意，就是討論在某種條件下發(fā)生的概率。這個概念是應(yīng)用最多的、最廣的。人工智能中很多重要的算法都與條件概率的概念及性質(zhì)的應(yīng)用有密切關(guān)系。數(shù)學(xué)定義：P(B|A)=P(AB)/P(A)（用韋恩圖很容易看出來這個關(guān)系，同樣的由對稱性可知，P(B|A)=(PAB)/P(B))。同樣條件概率滿足概率定義下得出的非負(fù)、規(guī)范、可列可加性。從這里開始，概率論開始變復(fù)雜了。

2、乘法定理：乘法定理就是在定義的基礎(chǔ)上的公式變形，P(AB)=P(B|A)P(A)。別看這個簡單的變形，是后續(xù)一系列重要定理的原點(diǎn)。定義推廣到多個事件，得到形式P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)。可以看到ABC同時發(fā)生的概率依賴關(guān)系，這個就是乘法公式。三個因素互相作用的系統(tǒng)中，某個現(xiàn)象出現(xiàn)不光要考慮單個因素發(fā)生的概率還要考慮到多個因素聯(lián)合約束下的影響。這就是條件概率蘊(yùn)含的深層次思想，它考慮到了關(guān)系之間的聯(lián)合作用。

3、全概率公式：先看定義，如果一個樣本空間為E，B1...Bn為一組事件（注意不是單個樣本點(diǎn)劃分，而是一組事件劃分），也就是將樣本空間這個集合進(jìn)行劃分，如果B1...Bn之間沒有交集，并且B1UB2..UBn=E,那么E中一個事件A的概率可以表示為P(A)=P(A|B1)P(B1)+...P(A|Bn)P(Bn)。橫向類比，B1..Bn像不像線性代數(shù)里面的向量空間的基！空間中任何一個向量（A）都可以由其基來表示。拿擲色子來舉例，E={1，2，3，4，5，6}，我們將其劃分為兩個集合（基本事件）B1={1，2，3，4},B2{5，6}滿足定義，那么A={3，4，5}這個事件的概率P(A)=P(A|B1)*P(B1)+P(A|B2)P(B2)來表示。要解這個公式需要知道的信息很多，所以全概率公司的最重要的作用不在于求，而是在于推導(dǎo)出另外一個非常重要的公式，貝葉斯公式??！貝葉斯公式??！貝葉斯公式??！

4、貝葉斯公式：P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/P(A)。貝葉斯公式可以這樣理解，以5月份醫(yī)院診斷病例為例子，A代表癥狀，Bi代表疾病。我們知道某個人咳嗽，可能是感冒了(B1)、可能是肺炎(B2)、可能禽流感(B3)等等有很多病的臨床表現(xiàn)都會咳嗽。通過醫(yī)院以往的病例我們知道，感冒情況下有咳嗽癥狀的概率P(A|B1），肺炎情況下咳嗽的概率P(A|B2),禽流感情況下咳嗽的概率P(A|B3)，同時我們知道比如在夏天感冒的概率P(B1),肺炎的概率P(B2),禽流感的概率P(B3)，這樣我們就可以分別計算P(A|B1),P(A|B2),P(A|B3)的概率，從而比較哪個概率比較大那么得某個疾病得可能性就最大。（哈哈哈，不知道大家看明白，醫(yī)生看病的例子是最直接的。但是要注意，應(yīng)用貝葉斯公司的時候需要注意全概率公式中的條件，B1..Bn相互獨(dú)立，并且構(gòu)成樣本空間的一組基）