最小二乘法

早在1766年，德國(guó)有一位名叫約翰·提丟斯（Johann Daniel Titius）的中學(xué)教師提出，諸行星與太陽(yáng)的平均距離非常接近于用下式表示的簡(jiǎn)單關(guān)系：A=4+（2^n×3）,此處n的值依次取-∞、0，1，2，3，等等。這樣就產(chǎn)生了一個(gè)數(shù)列：4，7，10，16，28，52，100…它與水星、金星、地球、火 星、木星以及土星到太陽(yáng)的相對(duì)距離相吻合。

（0+4）/10=0.4；

（3+4）/10=0.7；

（6+4）/10=1.0

（12+4）/10=1.6；

（24+4）/10=2.8；

（48+4）/10=5.2

（96+4）/10=10

（192+4）/10=19.6

...

1781年，英籍德國(guó)人赫歇爾在接近19.6的位置上（即數(shù)列中的第八項(xiàng)）發(fā)現(xiàn)了天王星，從此，人們就對(duì)這一定則深信不疑了。根據(jù)這一定則，在數(shù)列的第五項(xiàng)即2.8的位置上也應(yīng)該對(duì)應(yīng)一顆行星，但是它尚未被找到。

提丟斯和波得從當(dāng)時(shí)已知的行星軌道半徑資料，總結(jié)出了如下的規(guī)律，即行星離太陽(yáng)的平均距離的10倍（天文單位）是4＋2n×3，其中n為非負(fù)整數(shù)。它被稱作“提丟斯——波得定律”。

水星 a·10＝0.387×10＝3.87≈ 4；

金星 a·10＝0.723×10＝7.23≈7＝4＋2^0×3；

地球 a·10＝1.0×10＝10＝4＋2^1×3；

火星 a·10＝1.523×10＝15.23 ≈ 16＝4＋2^2×3；

木星 a·10＝5.203×10＝52.03 ≈ 52＝4＋2^4×3；

土星 a·10＝9.52×10＝95.2 ≈ l00＝4＋2^5×3；

天王星 a·10＝92 ≈196＝4＋2^6×3；

海王星 a·10＝30.2×10＝302≈388＝4＋2^7×3。

海王星和太陽(yáng)的平均距離的10倍為302，若以388近似表示，則這說(shuō)明天王星、海王星的位置也都符合提丟斯——波得定律的。

問(wèn)題來(lái)了：天文學(xué)家很早就發(fā)覺火星和木星的軌道間距太大，難道被狗吃了嗎（缺少4+2的3次方×3這個(gè)軌道），為這龐大的間隙感到煩惱不已，開普勒推測(cè)此間距內(nèi)應(yīng)當(dāng)有一顆未知的行星。天文學(xué)家認(rèn)為在火星和木星之間應(yīng)該還有行星沒有被發(fā)現(xiàn)，根據(jù)提丟斯——波得定律推測(cè)，在木星與火星之間可能存在一顆行星。

他們?yōu)榇艘呀?jīng)忙碌了20多年，一直在尋找這之間的星星……答案充滿負(fù)能量，沒找到。

1801年1月1日，意大利天文學(xué)家皮亞齊從望遠(yuǎn)鏡里發(fā)現(xiàn)了一顆非常小的星星，正好在提丟斯——波得定則中2.8的位置上。他確認(rèn)發(fā)現(xiàn)了這顆行星，這就是谷神星（Ceres），它是太陽(yáng)系中最小的、也是唯一位于小行星帶的矮行星。

可是，當(dāng)皮亞齊計(jì)劃進(jìn)一步觀察這顆小行星的關(guān)鍵時(shí)刻，他卻倒霉地病倒了。

等到他康復(fù)后再想尋找這顆小行星時(shí)，卻不知所蹤……這種結(jié)果顯然不能被認(rèn)可，因?yàn)闆]能計(jì)算出其準(zhǔn)確軌道，所以還是充滿負(fù)能量……

時(shí)年24歲的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯，參與到這顆行星的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，他深知數(shù)學(xué)對(duì)于天文學(xué)的重要作用，這句話有沒有一種BAT級(jí)別企業(yè)跨界合作重金砸向某領(lǐng)域開始降維打擊的感覺，好像有一點(diǎn)……

在前人的觀測(cè)和計(jì)算基礎(chǔ)上，高斯創(chuàng)立了一種嶄新的行星軌道計(jì)算理論。他根據(jù)皮亞齊的觀測(cè)資料，利用這種方法，只用了一個(gè)小時(shí)就算出了谷神星的軌道形狀，并指出它將于何時(shí)出現(xiàn)在哪一片天空里。

1801年12月31日夜，當(dāng)時(shí)的德國(guó)天文愛好者奧伯斯（他最初真的僅是一個(gè)愛好者），在高斯算出其軌道之后重新發(fā)現(xiàn)了這顆行星。他又于1802年發(fā)現(xiàn)了小行星智神星、于1804年發(fā)現(xiàn)了小行星灶神星。

高斯因?yàn)榇耸旅暣笳?，但他卻拒絕透露計(jì)算小行星軌道的辦法（猜測(cè)可能是他尚未有效證明這種方法，這種學(xué)術(shù)人都是相當(dāng)謹(jǐn)慎的）。

拿起手機(jī)，拜一拜高斯?fàn)?，然后再往下?/p>

8年后，直到高斯系統(tǒng)地完善了相關(guān)的數(shù)學(xué)理論，才將他的方法公布于眾，這就是“最小二乘法”（Least squares method）。高斯使用的最小二乘法的方法發(fā)表于1809年他的著作《天體運(yùn)動(dòng)論》(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium )中。最小二乘法原理是高斯對(duì)于數(shù)學(xué)的杰出貢獻(xiàn)。