情形1 . 弦

若圓的題目中出現(xiàn)關(guān)于弦的相關(guān)知識點，要想到弦相關(guān)的定理和一些性質(zhì)，垂徑定理、弦心距、勾股定理等．

例1.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB與CD交于點F

（1）求證：FC＝FB；

（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直徑．

分析：

（1）根據(jù)兩平行弦所夾的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所對的圓周角相等及等角對等邊，可以證明FC＝FB．

（2）連接OC，在Rt△OCE中用勾股定理計算出半徑，然后求出直徑．

證明：

（1）∵PD∥CB，

∴弧PC＝弧BD，

∴∠FBC＝∠FCB，

∴FC＝FB．

（2）解：如圖，連接OC，

設(shè)圓的半徑為r，在Rt△OCE中，

OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，

∴r2＝(r﹣8)2+122，

解方程得r＝13．所以⊙O的直徑為26．

情形2 . 直徑

出現(xiàn)直徑時，要聯(lián)想圓心角、圓周角等性質(zhì)，構(gòu)造等腰三角形、直角三角形等圖形。

例2.如圖，在⊙O中，將弧BC沿弦BC所在直線折疊，折疊后的弧與直徑AB相交于點D，連接CD．

（1）若點D恰好與點O重合，則∠ABC＝______ °；

（2）延長CD交⊙O于點M，連接BM．猜想∠ABC與∠ABM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

分析：

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和圓周角定理解答即可；

（2）作點D關(guān)于BC的對稱點D'，利用對稱的性質(zhì)和圓周角定理解答即可．

證明：

（1）∵若點D恰好與點O重合，

∴∠COD＝60°（跳步啦），

∴∠ABC＝∠OBC＝∠COD＝30°；

（2）∠ABM＝2∠ABC，

作點D關(guān)于BC的對稱點D'，

連接CD'，BD'，

∵對稱，

∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，

連接CO，D'O，AC，

∴∠AOC＝2∠ABC，

∠D'OC＝2∠D'BC，

∴∠AOC＝∠D'OC，

∴AC＝D'C，

∵DC＝D'C，∴AC＝DC，

∴∠CAD＝∠CDA，

∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，

∴∠CAD+∠ABC＝90°，

設(shè)∠ABC＝α，

則∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，

∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，

即∠ACD＝2∠ABC，

∵∠ABM＝∠ACD，

∴∠ABM＝2∠ABC．

情形3：切線

如果題目給出有切線，我們可以思考添加過切點的半徑，連結(jié)圓心和切點，利用切線的性質(zhì)和定理構(gòu)造出直角或直角三角形，再使用勾股定理解出一些邊角關(guān)系。

如圖，AB是⊙O的弦，半徑OE⊥AB，P為AB的延長線上一點，PC與⊙O相切于點C，CE與AB交于點F．

（1）求證：PC＝PF；

（2）連接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3√2

，tanP＝3/4，求FB的長．

分析：

（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)以及OE⊥AB，可知∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，從而可知∠EFA＝∠FCP，由對頂角的性質(zhì)可知∠CFP＝∠FCP，所以PC＝PF；

（2）過點B作BG⊥PC于點G，由于OB∥PC，且OB＝OC，BC＝3√2

，從而可知OB＝3，易證四邊形OBGC是正方形，所以O(shè)B＝CG＝BG＝3，所以BG/PG=3/4，所以PG＝4，由勾股定理可知：PB＝5，所以FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．

證明：

（1）連接OC，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠OCP＝90°，

∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，

∵OE⊥AB，

∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，

∴∠EFA＝∠FCP，

∵∠EFA＝CFP，

∴∠CFP＝∠FCP，

∴PC＝PF.

（2）過點B作BG⊥PC于點G，

∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，

∵OB＝OC，BC＝3√2，

∴OB＝3，

∵BG⊥PC，

∴四邊形OBGC是正方形，

∴OB＝CG＝BG＝3，

∵tanP＝3/4，

∴BG/PG=3/4，∴PG＝4，

∴由勾股定理可知：PB＝5，

∵PF＝PC＝7，

∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．

情形4：相交切線

考慮連結(jié)圓心和切點，或連結(jié)圓心和圓外的一點，或連結(jié)兩切點。得出一些特殊的三角形和邊角關(guān)系，比如全等、相似、垂直、邊角關(guān)系等。

例4.如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB為直徑的⊙O與DC相切于E．已知AB＝8，邊BC比AD大6．

（1）求邊AD、BC的長；

（2）在直徑AB上是否存在一動點P，使以A、D、P為頂點的三角形與△BCP相似？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由．

分析：

（1）過D作DF⊥BC于F，設(shè)AD＝x，則DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，根據(jù)勾股定理就到一個關(guān)于x的方程，就可以解得AD的長；

（2）△ADP和△BCP相似，有△ADP∽△BCP和△ADP∽△BPC兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，就可以求出AP的長.

情形5：內(nèi)切圓

過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段或者連結(jié)圓心到各三角形頂點，構(gòu)造特殊的邊角關(guān)系和三角形。圓心到三角形頂點的連線是角平分線；圓心到三角形三邊的距離相等。

如圖，AB＝AC，CD⊥AB于點D，點O是∠BAC的平分線上一點，⊙O與AB相切于點M，與CD相切于點N

（1）∠AOC＝______；

（2）若NC＝3，BC＝2√5

，求DM的長．

分析：

（1）只要證明OC平分∠ACD，即可解決問題；

（2）由切線長定理可知：AM＝AE，DM＝DN，CN＝CE＝3，設(shè)DM＝DN＝x，AM＝AE＝y(tǒng)，在Rt△BDC中，根據(jù)BC2＝BD2+CD2，構(gòu)建方程即可解決問題.

情形6：外接圓

一般先構(gòu)造一條直徑，再根據(jù)題目的一些條件構(gòu)造特殊的三角形和邊角關(guān)系。

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，PA是⊙O切線，PC交⊙O于點D．

（1）求證：∠PAC＝∠ABC；

（2）若∠BAC＝2∠ACB，∠BCD＝90°，AB＝2√3

，CD＝2，求⊙O的半徑．

分析：

（1）連接AO延長AO交⊙O于點E，連接EC．想辦法證明：∠B+∠EAC＝90°，∠PAC+∠EAC＝90°即可解決問題；

（2）連接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，連接OC，CF．設(shè)⊙O的半徑為x．求出OM，根據(jù)CM^2＝OC^2﹣OM^2＝CF^2﹣FM^2構(gòu)建方程即可解決問題.

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