【編者按】全球數(shù)學(xué)教育界水平最高、規(guī)模最大的學(xué)術(shù)會(huì)議——第十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）2021 年 7 月 12 日—18 日在上海成功舉辦。這是國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)成立 50 多年來(lái)首次在中國(guó)舉辦。“青浦實(shí)驗(yàn)”的開(kāi)創(chuàng)者、華東師范大學(xué)特聘教授顧泠沅受邀作了題為《45 年：一項(xiàng)數(shù)學(xué)教改實(shí)驗(yàn)》的大會(huì)報(bào)告，將數(shù)學(xué)教育的“青浦經(jīng)驗(yàn)”介紹給國(guó)際同行。1980 年 8 月，第四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-4）在美國(guó)伯克利舉行。中國(guó)第一次派代表參加。華羅庚教授被邀作為四個(gè)大會(huì)報(bào)告人之一，在全體會(huì)上作了報(bào)告《在中國(guó)普及數(shù)學(xué)方法的若干個(gè)人體會(huì)》，介紹自 20 世紀(jì) 60 年代開(kāi)始在中國(guó)普及數(shù)學(xué)方法的工作。時(shí)隔 41 年，繼華羅庚之后，顧泠沅成為第二個(gè)在國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上作大會(huì)報(bào)告的中國(guó)人。報(bào)告指出， “這個(gè)實(shí)驗(yàn)總結(jié)了我們自己的經(jīng)驗(yàn)，為中國(guó)數(shù)學(xué)教育的跨越式進(jìn)步留下了一份時(shí)代的印記”，同時(shí)，“在教育全球化背景下，向世界展示這份立足中國(guó)特色的實(shí)證研究，接受?chē)?guó)際同行們的檢驗(yàn)，將對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)教育發(fā)展起到推動(dòng)作用”?！度A東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版）》特邀請(qǐng)顧泠沅教授對(duì)報(bào)告內(nèi)容再加董理，發(fā)布于此，以播休美于一世。

一、大面積提高質(zhì)量

      20世紀(jì)70年代，上海市青浦縣中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量在全市“墊底”。1977年，我們用小學(xué)和初中低年級(jí)的數(shù)學(xué)題對(duì)即將高中畢業(yè)的4373名學(xué)生開(kāi)展摸底考試(見(jiàn)圖1)。閱卷結(jié)果為：及格率2.8%，平均分11.1，零分比例高達(dá)23.5%。面對(duì)觸目驚心的落后現(xiàn)狀怎么辦？低分學(xué)生遍地與現(xiàn)代教育期望的巨大反差，孕育出緊迫的教學(xué)改革需求。

圖 1   1977年對(duì)高中畢業(yè)生的摸底考試試題

       青浦的骨干教師，在當(dāng)年教育局長(zhǎng)面前立下軍令狀，以臥薪嘗膽、“十年生聚”的決心，發(fā)誓徹底改變落后面貌。于是立即成立數(shù)學(xué)教改實(shí)驗(yàn)小組，制定了三年全面調(diào)查、一年篩選經(jīng)驗(yàn)、三年實(shí)驗(yàn)論證和八年推廣應(yīng)用的推進(jìn)計(jì)劃。

      教改是變革與傳承之間的一場(chǎng)博弈。我們的設(shè)計(jì)思路：一是堅(jiān)持開(kāi)放包容，廣泛吸納自身之外的信息，包括經(jīng)驗(yàn)再生、理論進(jìn)展與技術(shù)更新；二是立足實(shí)踐篩選，針對(duì)現(xiàn)狀，通過(guò)不斷改進(jìn)與效果檢測(cè)的反復(fù)循環(huán)，尋找最合適的改革路徑。

      具體實(shí)施分為四個(gè)部分：

    （1）教學(xué)調(diào)查（3年）。全面調(diào)查本地區(qū)教學(xué)的突出問(wèn)題及其癥結(jié)所在，針對(duì)問(wèn)題與癥結(jié)，采集到160項(xiàng)專(zhuān)題經(jīng)驗(yàn)。

    （2）經(jīng)驗(yàn)篩選（1年半）。將經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用于課堂教學(xué)，經(jīng)過(guò)50次反復(fù)試驗(yàn)、觀察、淘汰、優(yōu)化的循環(huán)篩選，聚焦課堂改進(jìn)，得出如下四方面的關(guān)鍵行為：①讓學(xué)生在迫切需求之下學(xué)習(xí)；②組織好教學(xué)內(nèi)容的層次和順序；③指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展嘗試探索的活動(dòng)；④及時(shí)了解學(xué)習(xí)效果，隨時(shí)反饋調(diào)節(jié)。

     （3）對(duì)比實(shí)驗(yàn)（3年）。選取初中10個(gè)班組共440名學(xué)生，根據(jù)上述四方面改進(jìn)開(kāi)展嚴(yán)格控制的對(duì)比實(shí)驗(yàn)以及對(duì)其中50對(duì)同質(zhì)學(xué)生進(jìn)行對(duì)偶跟蹤比較。

    （4）推廣與深化（8年）。在全地區(qū)推廣并深化實(shí)驗(yàn)結(jié)論，將傳播學(xué)的策略引入推廣流程，使推廣不停留于模仿照搬，而是內(nèi)化與創(chuàng)造；依托多級(jí)教研組進(jìn)行全覆蓋引領(lǐng)，因?yàn)槲覀冃枰牟皇切〈蛐◆[，而是大面積提高。

     上述四個(gè)部分構(gòu)成了比較完整的改革實(shí)驗(yàn)方法體系(如圖2)。

圖 2   以循環(huán)篩選為核心的方法體系

       該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)始終瞄準(zhǔn)全樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與精致化個(gè)案分析的匹配與互證，特別是創(chuàng)設(shè)循環(huán)篩選的方法，它填補(bǔ)了調(diào)查到實(shí)驗(yàn)假說(shuō)、結(jié)論到推廣創(chuàng)新之間的空缺。我們肩負(fù)著解決真問(wèn)題的重任，不是“秀才造反”，不能掉進(jìn)坐而論道的陷阱。

      1977年那次摸底測(cè)試，反映了低分學(xué)生遍布全縣、尾大不掉的狀況，據(jù)此在低分生集中的群體中抽取樣本，開(kāi)展個(gè)案調(diào)查和每日作業(yè)觀察，歸納他們的形成過(guò)程（1982年）（如圖3）。

圖 3   低分學(xué)生的形成過(guò)程

      從學(xué)生的作業(yè)側(cè)面揭示了此類(lèi)學(xué)生的形成是學(xué)、教兩方面問(wèn)題累積發(fā)展到喪失自信的過(guò)程，必須及時(shí)阻斷這種不良循環(huán)。于是基于本土經(jīng)驗(yàn)，采用當(dāng)日作業(yè)反饋、面批加上鼓勵(lì)的方法，于1986年開(kāi)展分組實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明：及時(shí)、個(gè)別的針對(duì)性反饋指導(dǎo)是改變低分學(xué)生的一劑良藥（實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖4）

圖 4   作業(yè)反饋分組實(shí)驗(yàn)結(jié)果

      其實(shí)早在中國(guó)古代《禮記·學(xué)記》中就有“學(xué)—不足—自反，教—知困—自強(qiáng)”的雙通道反饋模型（見(jiàn)圖5），稱(chēng)之為“教學(xué)相長(zhǎng)”，這充分體現(xiàn)了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的魅力。

圖 5   《禮記·學(xué)記》中的教學(xué)雙通道反饋

      1984年，我們采用“出聲想”多媒體視聽(tīng)技術(shù)，對(duì)實(shí)驗(yàn)組與控制組50對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題過(guò)程做思維評(píng)估（見(jiàn)圖6），從個(gè)案中篩選出“變式體驗(yàn)”教學(xué)在提升學(xué)生思維準(zhǔn)確性、敏捷性、深刻性方面的積極影響，這在第二階段的創(chuàng)新和廣泛推進(jìn)中發(fā)揮了重要作用。

圖 6   成對(duì)學(xué)生的解題過(guò)程比較

      1992年，青浦實(shí)踐性教育科研的方法特征有如下四點(diǎn)概述：

      （1）導(dǎo)入契合、差異、共變以及演繹、逆推等科學(xué)發(fā)現(xiàn)模式，使教學(xué)行為改善與理性思辨同步進(jìn)行，增加了實(shí)踐研究在理論創(chuàng)新方面的可能性和期望值。

      （2）確立實(shí)踐篩選方法，用以填補(bǔ)調(diào)查與實(shí)驗(yàn)假說(shuō)之間的空白，以此為核心構(gòu)建多種方法互補(bǔ)的完整體系，增強(qiáng)了實(shí)踐研究旨在解決教育真問(wèn)題的能力。

     （3）深入研究教學(xué)經(jīng)驗(yàn)傳播的本質(zhì)與形態(tài)，探討成果推廣的條件、方式與效果，為教改實(shí)驗(yàn)結(jié)論回歸到大范圍的實(shí)際環(huán)境中去提供合理依據(jù)和實(shí)效保證。

      （4）建立研究者與教師的科研共同體，以此作為實(shí)驗(yàn)主體，可使研究進(jìn)入實(shí)際教育過(guò)程的深層領(lǐng)域，提高教改實(shí)驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)有效性和社會(huì)化程度。

       這其實(shí)是一項(xiàng)以教學(xué)實(shí)踐為基礎(chǔ)的綜合研究。值得注意的是，青浦實(shí)驗(yàn)還通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知與活動(dòng)過(guò)程、數(shù)學(xué)思維與目標(biāo)分類(lèi)等理論層面的探討，為教改實(shí)踐的關(guān)鍵教學(xué)行為提供解讀，逐步形成包括情感意志、有序推進(jìn)、嘗試活動(dòng)、及時(shí)反饋等四方面的基本原理。

      歷經(jīng)10年，青浦全縣9年級(jí)初中畢業(yè)生數(shù)學(xué)成績(jī)逐年提高（見(jiàn)圖7），合格率則由1979年的16%（全市低谷）上升到1986年的85%（全市為68%）。1986年4月，上海市教育局召開(kāi)大會(huì)在全市推廣青浦經(jīng)驗(yàn)。1990年10月，國(guó)家教委基礎(chǔ)教育司組織18人專(zhuān)家研究小組，赴青浦進(jìn)行為期9天的經(jīng)驗(yàn)、成果及實(shí)效考察。1992年國(guó)家教委將青浦經(jīng)驗(yàn)定為基礎(chǔ)教育改革的重大成果正式發(fā)文在全國(guó)推廣。

圖 7   初中畢業(yè)生數(shù)學(xué)統(tǒng)考成績(jī)統(tǒng)計(jì)

      青浦實(shí)驗(yàn)終于找到一條在最常見(jiàn)的教育條件下普遍提高教學(xué)質(zhì)量的可行途徑。該階段的主要研究成果有：《學(xué)會(huì)教學(xué)》（1991）；《教學(xué)實(shí)驗(yàn)論——青浦實(shí)驗(yàn)的方法學(xué)與教學(xué)原理研究》（1994）。

二、突破高認(rèn)知瓶頸

      第二階段的實(shí)驗(yàn)分兩條線展開(kāi)：一是認(rèn)知能力測(cè)量，二是深挖優(yōu)秀經(jīng)驗(yàn)。先說(shuō)第一條線。20世紀(jì)90年代以來(lái)，組織專(zhuān)業(yè)研究人員，設(shè)計(jì)能力目標(biāo)分水平測(cè)試，完成了對(duì)該地區(qū)8年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的三次測(cè)量和研究（歷時(shí)28年，積累了84萬(wàn)個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)）。

       第一次測(cè)量是在1990年。認(rèn)知能力目標(biāo)分類(lèi)參照當(dāng)年布盧姆、威爾遜的框架，列為計(jì)算、知識(shí)、領(lǐng)會(huì)、應(yīng)用、分析、綜合、評(píng)價(jià)等7類(lèi)，編制50個(gè)測(cè)試項(xiàng)目、共106個(gè)考察點(diǎn)的測(cè)試題。測(cè)試時(shí)長(zhǎng)共220分鐘（分3段進(jìn)行），全縣3200名同年級(jí)學(xué)生以25人為一組單獨(dú)書(shū)面答題。數(shù)據(jù)處理采用大樣本因子分析技術(shù)。主要結(jié)論有：

      （1）確定記憶、理解兩個(gè)最基本的內(nèi)隱主因子，各類(lèi)目標(biāo)可表示為兩個(gè)主因子上的不同負(fù)荷。數(shù)據(jù)顯示，類(lèi)別間的連續(xù)和等距性不盡合理：計(jì)算與知識(shí)混雜，領(lǐng)會(huì)與應(yīng)用、分析與綜合似可歸并、簡(jiǎn)化（見(jiàn)圖8）。

圖 8   各類(lèi)目標(biāo)在記憶、理解主因子上的不同負(fù)荷

      （2）基本摸清全縣不同能傾類(lèi)型學(xué)生的分布情況?？傮w上看，學(xué)生的計(jì)算與按步操作相當(dāng)熟練，對(duì)知識(shí)（概念）的了解比較清晰，但領(lǐng)會(huì)、探究等認(rèn)知水平總體不高（見(jiàn)圖9）。為使學(xué)生“聰明”起來(lái)，必須擺脫對(duì)概念的死記硬背和對(duì)題型的機(jī)械訓(xùn)練，由此確定領(lǐng)會(huì)優(yōu)先的主攻方向，旨在突破高認(rèn)知瓶頸。

圖 9   學(xué)生領(lǐng)會(huì)、探究等認(rèn)知能力相對(duì)滯后

      第二條線，基于主攻目標(biāo)，深挖優(yōu)秀經(jīng)驗(yàn)。我們重溫原先“啟發(fā)嘗試+及時(shí)反饋”的兩因子實(shí)驗(yàn)（1982—1983），當(dāng)年啟發(fā)嘗試主要采用“變式體驗(yàn)”的教學(xué)策略。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示。

圖 10   嘗試與反饋的兩因子實(shí)驗(yàn)結(jié)果

     （1） 及時(shí)反饋的“掌握學(xué)習(xí)”是大幅度提高成績(jī)的主因。

     （2） “灌輸+反饋”不利于數(shù)學(xué)思維與閱讀能力的提高，還會(huì)影響后續(xù)學(xué)習(xí)效果。

      （3） “嘗試+反饋”的實(shí)驗(yàn)，可使學(xué)生聰明起來(lái)。1985年，華東師大老校長(zhǎng)劉佛年說(shuō)：“這比通常認(rèn)為的掌握學(xué)習(xí)看得更遠(yuǎn)、更加合理”。

       于是變式教學(xué)成為這一階段一線教師的熱門(mén)話題。1981年提交給上海市數(shù)學(xué)會(huì)的論文（見(jiàn)圖11）明確提出，變式分為概念變式與過(guò)程性變式兩種類(lèi)型，而后者正是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的本國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)。

圖 11   1981年2月關(guān)于變式的論文油印稿

       例如，一個(gè)簡(jiǎn)單概念——平行線。老師告訴學(xué)生“平行線是平面上兩條不相交的直線（這是抽象概念）”，學(xué)生說(shuō)“我背出來(lái)了”，這就是“灌輸”。另一位老師說(shuō)“像列車(chē)兩根軌道那樣的就是平行線（這是描述定義）”，學(xué)生問(wèn)“列車(chē)拐彎了還算不算？”

       青浦實(shí)驗(yàn)采用另一種方法——變式體驗(yàn)，分為三步：第一步具體直觀的，這就是平行線；第二步抽象變化的，也是平行線；第三步似是而非的，這就不是平行線了（見(jiàn)圖12）。

圖 12   變式體驗(yàn)方法

       多次試驗(yàn)表明：通過(guò)材料或形式的變化，從具體到抽象，在“是”“也是”和“似是而非”的體驗(yàn)中形成數(shù)學(xué)概念，可以(1)顯著減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)；(2)加深對(duì)數(shù)學(xué)概念“關(guān)鍵屬性”的領(lǐng)會(huì)；(3)提高場(chǎng)景干擾中的獨(dú)立辨識(shí)能力。

       過(guò)程性變式是指精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題由易到難的“鋪墊（墊腳石，立足牢固基礎(chǔ)往上走）”；或者復(fù)雜問(wèn)題看簡(jiǎn)單的“化歸（找出兩者之間的核心關(guān)聯(lián)，使復(fù)雜問(wèn)題可以一眼看到底）”。引導(dǎo)學(xué)生自己解決問(wèn)題，擺脫機(jī)械訓(xùn)練。

       2016年，重新審視早年“活動(dòng)過(guò)程分析”的實(shí)驗(yàn)資料，研究其中的關(guān)聯(lián)樣式。例如，7年級(jí)“卡車(chē)上橋”的應(yīng)用題，通常都問(wèn)兩個(gè)問(wèn)題：①什么時(shí)候卡車(chē)開(kāi)始上橋？②什么時(shí)候卡車(chē)開(kāi)始在橋上行駛？這是兩個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)，可以用兩線段“外接”與“內(nèi)接”的靜態(tài)線段圖來(lái)解釋。如果我們讓卡車(chē)從左向右動(dòng)起來(lái)，再問(wèn)三個(gè)問(wèn)題：①什么時(shí)候還沒(méi)有上橋？②什么時(shí)候正在上橋的過(guò)程中？③什么時(shí)候全在橋上行駛？把握“移動(dòng)線段圖”這一“核心關(guān)聯(lián)”，便可順利遷移到9年級(jí)兩圓之間五種位置關(guān)系的探討（見(jiàn)圖13）。

圖 13   卡車(chē)上橋與兩圓位置關(guān)系的關(guān)聯(lián)樣式

       實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：在學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)去解決新的問(wèn)題中，重要的是如何找準(zhǔn)其中最本質(zhì)、最具遷移力的成分——“核心關(guān)聯(lián)”，這樣的關(guān)聯(lián)可以(1)縮短新問(wèn)題與原知識(shí)“固著點(diǎn)”間的認(rèn)知距離；(2)顯著提高學(xué)習(xí)過(guò)程中的遷移程度；(3)激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的建構(gòu)性思維。

       變式體驗(yàn)的教學(xué)，注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的概念性領(lǐng)會(huì)和解決問(wèn)題的建構(gòu)性思維。早期實(shí)驗(yàn)表明，它可使中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從直觀判斷到邏輯推理的轉(zhuǎn)變期至少提前一年（見(jiàn)圖14）。經(jīng)廣泛使用、實(shí)驗(yàn)和改善后，其成果與歐美學(xué)者聯(lián)名發(fā)表在數(shù)學(xué)教育重要刊物上，現(xiàn)已成為大家熟知的中國(guó)經(jīng)驗(yàn)。

圖 14   思維轉(zhuǎn)變期的比較

       變式用于教學(xué)改進(jìn)，可以從推理計(jì)算、情境應(yīng)用、學(xué)習(xí)心理三個(gè)維度展開(kāi)。這里需要注意的問(wèn)題有兩點(diǎn)：第一點(diǎn)，變式不是變得越多越好，應(yīng)以適合不同學(xué)生的目標(biāo)、需求為度；第二點(diǎn)，變式教學(xué)的關(guān)鍵是“體驗(yàn)”，不應(yīng)成為變相的灌輸，應(yīng)給學(xué)生親自投入、嘗試和組織表達(dá)的機(jī)會(huì)。

       第二次測(cè)量是在2007年。隨著目標(biāo)分類(lèi)的改進(jìn)（如區(qū)分知識(shí)與認(rèn)知，認(rèn)知目標(biāo)可簡(jiǎn)化，重視創(chuàng)造與探究思維），從本地區(qū)學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，對(duì)測(cè)試題作適量調(diào)整。測(cè)試時(shí)長(zhǎng)不變，學(xué)生數(shù)為4349人。這次因子分析的準(zhǔn)確度明顯提高，各認(rèn)知目標(biāo)在兩個(gè)主因子上的負(fù)荷占總方差的85.15%，比1990年提高了24個(gè)百分點(diǎn)。主要結(jié)論有：

      （1）得出了符合地區(qū)實(shí)情而且相對(duì)簡(jiǎn)明、等距的四層次架構(gòu)，以此推進(jìn)有深度的學(xué)習(xí)與教學(xué)（見(jiàn)圖15）：操作——機(jī)械記憶；了解——意義記憶；領(lǐng)會(huì)——解釋性理解，常規(guī)問(wèn)題；探究——發(fā)現(xiàn)性理解，非常規(guī)問(wèn)題。

圖 15   相對(duì)簡(jiǎn)明的四層次架構(gòu)

      （2）2007與1990年相比，學(xué)生在操作、了解、領(lǐng)會(huì)方面均有較大幅度提高?？墒?，探究與創(chuàng)造能力的培養(yǎng)，雖幾經(jīng)努力，還是“風(fēng)景依舊”，探究均值為28.96，略低于1990年的32.43（見(jiàn)圖16），成為需要突破的新難點(diǎn)。

圖 16   探究能力“風(fēng)景依舊”

      該階段的主要研究成果有：《教學(xué)改革的行動(dòng)與詮釋》（2003）；《變革的見(jiàn)證——顧泠沅與青浦教學(xué)實(shí)驗(yàn)30年》（2008）。

三、推進(jìn)探究與創(chuàng)造

       在進(jìn)入第三階段前，先看一看2018年完成的第三次測(cè)量。本次測(cè)量與2007年第二次測(cè)量的試題、測(cè)試時(shí)長(zhǎng)完全相同，學(xué)生數(shù)為3474人。主要結(jié)論是：

     （1）2018年領(lǐng)會(huì)均值超過(guò)了“合格”的水平，探究均值提升了11.31個(gè)百分點(diǎn)，難點(diǎn)有所突破（見(jiàn)圖17）。

圖 17   三次測(cè)量的基本情況

      （2）散點(diǎn)圖顯示，領(lǐng)會(huì)與探究總體呈正相關(guān)，隨著學(xué)生領(lǐng)會(huì)水平的逐步提高，探究水平呈指數(shù)式快速遞增（見(jiàn)圖18）。

圖 18   領(lǐng)會(huì)與探究總體呈正相關(guān)

      如圖19，考察領(lǐng)會(huì)—探究相關(guān)系數(shù)的變化，領(lǐng)會(huì)分值在45~95之間，圖象近乎兩段折線，“節(jié)點(diǎn)”位于中間。節(jié)點(diǎn)前后兩側(cè)相關(guān)系數(shù)遞增率呈斷崖式落差，從平均8.4%銳減為3.2%。可見(jiàn)節(jié)點(diǎn)后的探究水平還受領(lǐng)會(huì)之外其他因素的影響。

圖 19   相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)明顯的“節(jié)點(diǎn)”

      分別按節(jié)點(diǎn)前后領(lǐng)會(huì)、探究分值平均數(shù)作2×2分割（見(jiàn)表1），分離出A、B兩類(lèi)值得關(guān)注的人群，A類(lèi)的特征是固守領(lǐng)會(huì)，B類(lèi)的特征是走向探究。數(shù)據(jù)表明：無(wú)論節(jié)點(diǎn)前后，“雙高”“雙低”和“交錯(cuò)”類(lèi)的學(xué)生人數(shù)均占1/3，其中“交錯(cuò)”類(lèi)內(nèi)A、B兩類(lèi)學(xué)生的人數(shù)比，從節(jié)點(diǎn)前的61:39轉(zhuǎn)變?yōu)楣?jié)點(diǎn)后的46:54，探究因素的影響十分顯著。

      為了在教改實(shí)踐中尋找提高學(xué)生探究能力的關(guān)鍵舉措，我們根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)的積累，考慮到人為控制實(shí)驗(yàn)在教育公平與研究倫理方面的欠缺，設(shè)計(jì)了“依據(jù)大數(shù)據(jù)抽取可供比較的典型樣本組，再通過(guò)自然觀察、證據(jù)推理取得結(jié)論”的研究方法，簡(jiǎn)稱(chēng)“執(zhí)果溯因”的實(shí)證研究法。研究流程如圖20所示。這種方法的顯著特征：一是體現(xiàn)了現(xiàn)象和因果說(shuō)明中的理論滲透，可以發(fā)揮研究團(tuán)隊(duì)背景知識(shí)的主體能動(dòng)性；二是避免了觀察取樣的主觀隨意，可以保持發(fā)現(xiàn)邏輯的客觀嚴(yán)謹(jǐn)性。因此該方法大大提升了自然觀察研究的實(shí)際貢獻(xiàn)。

圖 20   大數(shù)據(jù)執(zhí)果溯因的研究流程

      在本階段的研究中，我們抽取節(jié)點(diǎn)后A、B兩類(lèi)學(xué)生（共516人）作深入分析。

     （1）細(xì)化的數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，節(jié)點(diǎn)后A、B兩類(lèi)學(xué)生的認(rèn)知效果明顯不一樣。他們?cè)谥R(shí)領(lǐng)會(huì)、常規(guī)應(yīng)用能力等方面差距不大，但在分析、判斷、發(fā)現(xiàn)等創(chuàng)新能力方面，B類(lèi)學(xué)生具有明顯優(yōu)勢(shì)（見(jiàn)圖21）。

圖 21   節(jié)點(diǎn)后兩類(lèi)學(xué)生的認(rèn)知效果雷達(dá)圖

      （2）經(jīng)學(xué)生所在學(xué)校的實(shí)地調(diào)研，兩類(lèi)學(xué)生的表現(xiàn)性特征如表2所示。A類(lèi)學(xué)生有強(qiáng)烈的高分追求，B類(lèi)學(xué)生會(huì)騰出精力鉆研自己感興趣的問(wèn)題。

      由此可見(jiàn)，在節(jié)點(diǎn)之后，從教學(xué)過(guò)程到學(xué)習(xí)結(jié)果，可以清楚地發(fā)現(xiàn)完全不同的兩類(lèi)學(xué)生、兩種學(xué)習(xí)路徑和不同的期望結(jié)果?？磥?lái)，過(guò)度的機(jī)械訓(xùn)練不可取，必須尋找提升探究水平的關(guān)鍵教學(xué)行為。

       尋求數(shù)學(xué)教學(xué)的合理行為，還應(yīng)深入到數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的實(shí)際領(lǐng)域，對(duì)A、B兩類(lèi)學(xué)生的具體測(cè)試反應(yīng)、所處教學(xué)場(chǎng)景進(jìn)行臨床分析和比較，才能找出提升探究水平的關(guān)鍵教學(xué)行為。下面列舉幾個(gè)典型的教學(xué)案例。

（1）伽利略太空?qǐng)A形劇場(chǎng)設(shè)計(jì)的項(xiàng)目（2006 年）

      B類(lèi)學(xué)生相對(duì)集中的實(shí)驗(yàn)性學(xué)校，長(zhǎng)期以來(lái)堅(jiān)守“活動(dòng)—發(fā)展”教學(xué)場(chǎng)景。圖22是當(dāng)年的一份項(xiàng)目作業(yè)單。太空?qǐng)A形劇場(chǎng)的設(shè)計(jì)，既要符合技術(shù)安全標(biāo)準(zhǔn)，又要使座位最多，其中輻射通道的多少由設(shè)計(jì)者自定，通道少座位就多，但受到每排座位不得超過(guò)30個(gè)的限制，需要在兩難之間解決問(wèn)題，知識(shí)難度不高，對(duì)思考力卻有很大挑戰(zhàn)性。這對(duì)驅(qū)動(dòng)學(xué)生創(chuàng)新思維來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是一項(xiàng)很恰當(dāng)?shù)母咚饺蝿?wù)。

圖 22   初中學(xué)生的創(chuàng)意設(shè)計(jì)作業(yè)

（2）非常規(guī)行程問(wèn)題的思維精細(xì)加工（2018年）

      這是三次能力測(cè)試中探究水平部分的一道題：A、B兩船同時(shí)從甲島出發(fā)，在甲、乙兩島間往返行駛。A船每小時(shí)行10千米，B船每小時(shí)行8千米，24小時(shí)后剛好同時(shí)返回甲島。問(wèn)：①甲乙兩島間的距離是多少？②兩船同時(shí)到達(dá)過(guò)乙島嗎？

       ① A類(lèi)學(xué)生熟知s=vt的公式和“相遇”“追及”的題型，但遇到需要獨(dú)立分析的“兩地往返”問(wèn)題時(shí)，正確率僅為13.8%。B類(lèi)學(xué)生經(jīng)分析，認(rèn)為：

   24小時(shí)內(nèi)A船比B船多走了一個(gè)來(lái)回，所以正確率達(dá)到46.2%。

       卷面及測(cè)試后訪談反應(yīng)：B類(lèi)學(xué)生還會(huì)對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行責(zé)疑并進(jìn)一步加工。比如B類(lèi)學(xué)生這樣問(wèn)：“為什么一定是多走了一個(gè)來(lái)回？”如把v_B改為每小時(shí)6千米，此時(shí)A船走5個(gè)來(lái)回，B船走3個(gè)來(lái)回，24小時(shí)后剛好同時(shí)返回甲島，此時(shí)A船比B船多走了兩個(gè)來(lái)回。一般情況下應(yīng)是：

      ②第二個(gè)問(wèn)題多數(shù)學(xué)生用列時(shí)間表的方法做。B類(lèi)學(xué)生說(shuō)：“如果兩船同時(shí)到達(dá)過(guò)乙島，那一定是12小時(shí)后，但這時(shí)B船不在乙島”，這是反證法的思路，但學(xué)生不會(huì)表達(dá)。在老師指導(dǎo)下，整理出如下結(jié)果：

     假設(shè)兩船同時(shí)到達(dá)過(guò)乙島，此時(shí)2.4m=3n，也就是4m=5n，這里m、n為奇數(shù)，這是不可能的，因此兩船沒(méi)有同時(shí)到達(dá)過(guò)乙島。

（3）三角形重心的跨學(xué)科學(xué)習(xí)與探究（2018年） 

      這是一次課堂上的探究：三角形的重心，力學(xué)與幾何學(xué)的跨學(xué)科問(wèn)題解決。力學(xué)知識(shí)主要是“懸掛線”方法找重心與質(zhì)點(diǎn)間力的平衡概念，由此得出用力學(xué)方法確定重心與三角形三條中線交于一點(diǎn)相一致的結(jié)果，進(jìn)一步還可以討論三角形三條角平分線、三條高交于一點(diǎn)的問(wèn)題，甚至涉及Ceva定理的力學(xué)證明。學(xué)科之間的本質(zhì)聯(lián)系更加緊密了，解決問(wèn)題就出現(xiàn)了別開(kāi)生面的方法。例如，課堂上一道求等腰梯形重心的練習(xí)，如圖23，AD=6，BC=12，EF=9，學(xué)生當(dāng)堂就有多種解法：

圖 23   等腰梯形的重心

① 交點(diǎn)作圖的方法

       連結(jié)DF，平行四邊形ABFD的重心為M₁，△DFC的重心為M₂。線段M₁M₂與中軸線EF的交點(diǎn)就是梯形重心M ，如圖23（a）。

② 力學(xué)平衡的方法

       分別延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)G，△GAD重心為M₁，△GBC重心為M₂，假設(shè)梯形ABCD重心為M，根據(jù)力的平衡概念列方程M₁M₂:M₂M=3:1，可解得M₂M=2，M的位置便可確定，如圖23（b）。

③ 等價(jià)推理的方法

      將梯形分割為三個(gè)全等的等腰三角形，它們的重心分別為M₁、M₂、M₃，△M₁M₂M₃的重心M就是整個(gè)梯形的重心，如圖23（c）。

       面對(duì)學(xué)生的不同做法，老師十分感慨地說(shuō)：“學(xué)生出示的多種做法，連我都沒(méi)有反應(yīng)過(guò)來(lái)！”

（4）水葫蘆繁殖的建模、評(píng)估與修正（2021年）

      這是一個(gè)真實(shí)的問(wèn)題。江南水鄉(xiāng)青浦有一種名為“水葫蘆”的水生漂浮植物，這種植物繁殖力極強(qiáng)，生長(zhǎng)一段時(shí)間就會(huì)覆蓋大片水面，對(duì)環(huán)境、水上交通、人畜飲水安全和漁業(yè)生產(chǎn)效益造成了負(fù)面影響。為了了解水葫蘆的繁衍規(guī)律，8年級(jí)學(xué)生用剛學(xué)過(guò)的一次函數(shù)與折線圖的知識(shí)去建立水葫蘆繁殖的數(shù)學(xué)模型，結(jié)果得到了一條指數(shù)曲線：g=25.01×2.16t (g為植物量，25.01為初始值，t為以10天為單位的時(shí)間）。再把指數(shù)模型數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)相比較，發(fā)現(xiàn)到第3個(gè)月出現(xiàn)很大誤差；然后查閱文獻(xiàn)，請(qǐng)教專(zhuān)業(yè)人員，尋找原因，并對(duì)模型作出多種修正。令人驚奇的是，有學(xué)生自己想出了使每個(gè)測(cè)試點(diǎn)誤差絕對(duì)值總和最小的試誤方法，這相當(dāng)于所謂“最小一乘法”的思路。經(jīng)歷了這樣的過(guò)程后，初中學(xué)生有了數(shù)學(xué)建模和修正模型的初步體驗(yàn)，為日后他們從事科學(xué)研究打下了數(shù)學(xué)建模的重要方法基礎(chǔ)。

       回顧如前所述的逆推過(guò)程：第一，通過(guò)測(cè)試數(shù)據(jù)的細(xì)化，取得A、B兩類(lèi)學(xué)生完全不同的認(rèn)知結(jié)果；通過(guò)實(shí)地調(diào)研，歸納了兩類(lèi)學(xué)生表現(xiàn)性特征的顯著差別。第二，既有對(duì)B類(lèi)學(xué)生所在班級(jí)教學(xué)場(chǎng)景的實(shí)例考察，又有對(duì)A、B兩類(lèi)學(xué)生測(cè)試反應(yīng)的分析與比較，這是數(shù)據(jù)導(dǎo)引下的臨床觀察研究。就這樣，通過(guò)一步步往回追索，從而選定有效提升學(xué)生探究水平的下列關(guān)鍵教學(xué)行為：

（1）高水平任務(wù)驅(qū)動(dòng)的教學(xué)設(shè)計(jì)

① 遵循知識(shí)內(nèi)在的層次與順序，組織挑戰(zhàn)性的教學(xué)任務(wù)；

② 適應(yīng)不同學(xué)生的需求，預(yù)設(shè)個(gè)別化目標(biāo)；

③ 營(yíng)造寬松而有活力的求知狀態(tài)，驅(qū)動(dòng)專(zhuān)心投入的學(xué)習(xí)。

（2）思維精細(xì)加工的自主學(xué)習(xí)過(guò)程

① 嘗試多種策略，激活先期經(jīng)驗(yàn)并與探究性任務(wù)聯(lián)結(jié)；

② 通過(guò)應(yīng)用體驗(yàn)或知識(shí)同化，進(jìn)行思維活動(dòng)的精細(xì)加工；

③ 評(píng)估思維效應(yīng)量，不斷反饋并修正再加工學(xué)習(xí)。

       從領(lǐng)會(huì)到探究的改變，教研跟進(jìn)必不可少。青浦實(shí)驗(yàn)曾根據(jù)江、浙、滬眾多名師的個(gè)案分析，尤其是上海于漪老師“一篇課文三次備課，堅(jiān)持三年，一定成為好教師”的經(jīng)驗(yàn)，2004年提出教師在職研修的“行動(dòng)教育”范式（見(jiàn)圖24）：三個(gè)關(guān)注（關(guān)注自我經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注新理念、新經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注學(xué)生是否真有收獲）；三者之間樹(shù)立兩個(gè)反思支架（尋找自身與他人的差距，尋找設(shè)計(jì)與現(xiàn)實(shí)的差距），將其建立在以課例為載體的合作平臺(tái)上。這樣的循環(huán)往復(fù)，彰顯了我國(guó)教研特有的組織文化和行動(dòng)路線。

圖 24   行動(dòng)教育范式

       有學(xué)者提出過(guò)人際學(xué)習(xí)的知識(shí)共享模型，開(kāi)發(fā)了兩種關(guān)鍵技能：一是“公開(kāi)自我”（暴露真問(wèn)題的話語(yǔ)引導(dǎo)與分析）；二是“傾聽(tīng)與回應(yīng)”（思考性吸納和回應(yīng)技能）。由于近年來(lái)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、實(shí)作學(xué)習(xí)、項(xiàng)目學(xué)習(xí)等的興起，面對(duì)這類(lèi)高水平探究學(xué)習(xí)的教研實(shí)際，教師們常常處于大家都不甚明了的“公共問(wèn)題區(qū)”，此時(shí)除了“知識(shí)共享（知與不知）”外，新的“教學(xué)行為共建（行與不行）”顯得尤為重要。青浦實(shí)驗(yàn)歸納了如下兩種關(guān)鍵技能：一是“問(wèn)題聚焦”（探究目標(biāo)的問(wèn)題梳理與集中，形成“公共問(wèn)題區(qū)”）；二是“設(shè)計(jì)與改進(jìn)”（探究路徑的設(shè)計(jì)和基于證據(jù)的循環(huán)改進(jìn)技能），由此構(gòu)成了人際學(xué)習(xí)的兩種模型（見(jiàn)圖25）。

圖 25   人際學(xué)習(xí)的兩種模型

       表3是2015年“無(wú)理數(shù)引入”課，從設(shè)計(jì)到改進(jìn)，經(jīng)過(guò)三次循環(huán)，最后取得讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)數(shù)學(xué)的效果，改變了學(xué)習(xí)的方式。

     “教師成為有研究能力的實(shí)踐者”是青浦實(shí)驗(yàn)在培養(yǎng)優(yōu)秀教師方面的期許和追求。

     （1）早期，我們對(duì)骨干教師提出課堂現(xiàn)場(chǎng)觀察的要求，不放過(guò)每一堂課，即時(shí)即景，觀察其中的利弊得失，思索改進(jìn)的各種方法，從中鍛煉教師的教學(xué)敏覺(jué)力，很有成效。但這種觀察常受信息不全或遺忘的限制。

     （2）1990年代末，引入信息技術(shù)，先是錄像帶，后來(lái)是視頻光盤(pán)，方法帶來(lái)了研究的突破，多角度的全息記錄，可以提取大量數(shù)據(jù)以供分析；回放、定格與“顯微”，可以考察一瞬即逝的細(xì)微行為（包括語(yǔ)言、動(dòng)作與表情）。教師“既是演員又是觀眾”的角色轉(zhuǎn)變是最重要的一步，它使成就大批好教師有了便捷的途徑，大家不妨試一試。

     （3）如今，不少教師正在成為基于多種證據(jù)的“循環(huán)改進(jìn)者”。這是因?yàn)橐曨l分析大大擴(kuò)展了證據(jù)的多樣性：數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的資源空前豐富，事例分析的素材更為精致。教研過(guò)程中，有人可以據(jù)此作經(jīng)驗(yàn)性的解釋?zhuān)碚摴ぷ髡呖梢跃痛俗骼硇缘难堇[?；诙喾N證據(jù)互相印證的循環(huán)改進(jìn)，使“教師成為有研究能力的實(shí)踐者”走上了一個(gè)新臺(tái)階。

      該階段的主要研究成果有：《行動(dòng)教育——教師在職學(xué)習(xí)的范式革新》（2007）；《口述教改——地區(qū)實(shí)驗(yàn)或研究紀(jì)事》（2014）。

結(jié)語(yǔ)

      本項(xiàng)改革從教師的課堂實(shí)驗(yàn)開(kāi)始，低處起步提高質(zhì)量，逐步進(jìn)入目標(biāo)導(dǎo)向的分層推進(jìn)，用“變式體驗(yàn)”破解灌輸，設(shè)計(jì)“高水平任務(wù)”推動(dòng)探究性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。但總的來(lái)說(shuō)，身處大變革的年代，我們還在往前趕路，行色匆匆，難免顧此失彼。不當(dāng)之處，還望各位同仁指點(diǎn)。