作者：David S. Richeson是狄金森學(xué)院（Dickinson College）的數(shù)學(xué)教授 2021-1-27

譯者：zzllrr小樂 2021-1-27

如果你想挑事打個(gè)架，只需問問朋友，“冥王星是行星嗎？” 或“熱狗是三明治嗎？” 或“吸管有幾個(gè)洞？” 前兩個(gè)問題會讓他們爭論是或否，而第三個(gè)問題會提出兩個(gè)，一個(gè)甚至為零的主張。

這些問題都取決于定義。行星的確切定義是什么？一個(gè)三明治？一個(gè)洞？我們會將前兩個(gè)留給您的朋友討論。但是，可以通過數(shù)學(xué)視角來查看第三個(gè)。數(shù)學(xué)家（尤其是研究空間關(guān)系的拓?fù)鋵W(xué)家）如何看待孔洞？

在日常語言中，我們以各種非等效的方式使用“空洞”。一個(gè)就像一個(gè)洞，就像在地下挖的坑一樣。另一個(gè)是物體上的開口或孔，例如穿過山的隧道或三環(huán)裝訂紙上的沖頭。還有一個(gè)是完全封閉的空間，例如瑞士奶酪中的氣袋。拓?fù)鋵W(xué)家會說，除了第一個(gè)例子以外，其他所有東西都是孔。但是要了解為什么-以及為什么數(shù)學(xué)家首先關(guān)心孔-我們必須遍歷拓?fù)涞臍v史，從拓?fù)渑c其近親——幾何的區(qū)別開始。

在幾何學(xué)中，圓形和多邊形等形狀是剛性對象。衡量的工具是長度，角度和面積。但是在拓?fù)鋵W(xué)中，形狀是柔性的，就像橡膠制成的一樣。拓?fù)鋵W(xué)家可以自由拉伸和扭曲形狀。只要精確地確定了切口，就可以進(jìn)行切割和粘合。球體和立方體是不同的幾何對象，但是對于拓?fù)鋵W(xué)家而言，它們是無法區(qū)分的。如果您想從數(shù)學(xué)上證明T恤和一條褲子不同，則應(yīng)求助于拓?fù)鋵W(xué)家，而不是幾何學(xué)家。證明內(nèi)容是：它們具有不同數(shù)量的孔。

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在18世紀(jì)開始了形狀的拓?fù)溲芯?。您可能會認(rèn)為，那時(shí)數(shù)學(xué)家?guī)缀趿私馑嘘P(guān)于多面體的知識。但是在1750年，歐拉發(fā)現(xiàn)了我認(rèn)為是有史以來最偉大的定理之一：如果一個(gè)多面體具有F個(gè)多邊形面，E個(gè)邊和V個(gè)頂點(diǎn)，則V – E + F=2。例如，一個(gè)足球有20個(gè)白色六邊形和12個(gè)黑色五角形小塊，總共32個(gè)面，90個(gè)邊和60個(gè)頂點(diǎn)。的確是60 – 90 + 32 =2。這個(gè)基本的觀察與數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域都有著深厚的聯(lián)系，但足夠簡單，可以向幼兒園的學(xué)生講授。但是它避開了像歐幾里得，阿基米德和開普勒這樣的幾個(gè)世紀(jì)的幾何學(xué)家，因?yàn)榻Y(jié)果不取決于幾何形狀。它僅取決于形狀本身：它是拓?fù)洹?/p>

歐拉隱含地假設(shè)他的多面體是凸面的，這意味著連接任意兩個(gè)點(diǎn)的線段完全位于多面體之內(nèi)。不久之后，學(xué)者發(fā)現(xiàn)了歐拉公式的非凸的例外情況。例如，在1813年，瑞士數(shù)學(xué)家西蒙·呂利埃（Simon Lhuilier）認(rèn)識到，如果我們在多面體上打一個(gè)孔以使其更呈甜甜圈形，改變其拓?fù)?，則V – E + F = 0。

塞繆爾·維拉斯科/ Quanta雜志

有趣的是，雖然Euler和Lhuilier認(rèn)為它們的多面體為實(shí)體，但是Euler的公式僅使用零維頂點(diǎn)，一維邊和二維面來計(jì)算。因此，歐拉數(shù)（V – E + F）實(shí)際上是從多面體的二維表面得出的。今天，我們將這些形狀想象為空心殼。

此外，重要的是對象的拓?fù)?。如果我們用粘土制作多面體，用記號筆標(biāo)記邊緣，然后將其滾動(dòng)成球狀，則面和邊緣會彎曲，但其數(shù)量不會改變。因此，對于在拓?fù)渖鲜乔蝮w的任何形狀，其歐拉數(shù)均為2；對于甜甜圈狀的圓環(huán)，為0；對于平盤，它是1；等等。每個(gè)表面都有自己的歐拉數(shù)。這種對Euler公式的拓?fù)淅斫猓ㄐ螤钍窍鹉z狀而不是剛性的）首先由Johann Listing在1861年發(fā)表。盡管今天在很大程度上被遺忘了，Listing還因莫比烏斯環(huán)（M?bius Ring）而著稱（4年8月前的文章）。并創(chuàng)造了一個(gè)術(shù)語拓?fù)鋵W(xué)Topologie。

球的歐拉數(shù) V  –  E  +  F為2，圓環(huán)為0，圓盤為1，雙圓環(huán)為–2。

大約在同一時(shí)間，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）正在研究在他的復(fù)數(shù)研究中出現(xiàn)的曲面。他觀察到計(jì)數(shù)孔的一種方法是查看物體不被切割開兩塊時(shí)可以切割多少次。對于具有邊界的表面（例如帶有兩個(gè)邊界圓的稻草），每個(gè)切割必須在邊界處開始和結(jié)束。根據(jù)黎曼所說，因?yàn)橐桓苤荒鼙磺懈钜淮危◤囊欢说搅硪欢耍?，所以它只有一個(gè)孔。如果曲面沒有圓環(huán)之類的邊界，則第一次切割必須在同一點(diǎn)開始和結(jié)束?？梢詫⒖招膱A環(huán)切割兩次-一次繞管切割，然后沿所得圓柱體切割-因此根據(jù)此定義，它有兩個(gè)孔。

可以將一根稻草切開一次而不斷開它，而空心花托可以切割兩次。

亨利·龐加萊（Henri Poincaré）在1895年發(fā)表了開創(chuàng)性的123頁的開篇文章“ Anatus Situs”（拓?fù)鋵W(xué)）之后，便在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了進(jìn)一步發(fā)展，并極大地?cái)U(kuò)展了拓?fù)鋵W(xué)。在其中及其五篇續(xù)篇中，他種植了許多可以生長的拓?fù)浞N子，開花并結(jié)出數(shù)十年的果實(shí)。其中值得注意的是同源性概念，龐加萊引入了homology同調(diào)概念，將黎曼的思想推廣到更高的維度。通過同調(diào)性，龐加萊（Poincaré）的目標(biāo)是捕捉一切，從黎曼在吸管或裝訂紙上的一維圓形洞，到瑞士奶酪內(nèi)部的二維腔狀洞，再到更高維度。為了紀(jì)念恩里克·貝蒂（Enrico Betti）（曾嘗試進(jìn)行類似工作的黎曼的朋友），這些孔的數(shù)量（每個(gè)維度一個(gè)）被稱為物體的貝蒂數(shù)。

同調(diào)的現(xiàn)代定義相當(dāng)復(fù)雜，但是它大致是一種將每個(gè)數(shù)學(xué)對象與每個(gè)形狀相關(guān)聯(lián)的方法。從該對象中，我們可以提取有關(guān)形狀的更簡單信息，例如其貝蒂數(shù)或歐拉數(shù)。

為了了解同調(diào)性和貝蒂數(shù)是什么，讓我們集中在第一維上。我們將從查看曲面上的環(huán)開始。規(guī)則很簡單：環(huán)可以滑動(dòng)和到處移動(dòng)，甚至可以交叉，但不能離開表面。在某些表面上，例如圓盤或球體，任何環(huán)都可以縮小到單個(gè)點(diǎn)。這樣的空間具有平凡的同調(diào)性。但是其他表面，例如稻草或圓環(huán)，則有環(huán)繞其孔的環(huán)。這些具有不平凡的同調(diào)性。

圓環(huán)向我們展示了如何可視化貝蒂數(shù)。我們可以在一個(gè)環(huán)上產(chǎn)生無限多個(gè)非平凡的環(huán)，它們可以纏繞，折返并環(huán)繞多次，然后在其起點(diǎn)處結(jié)束。但是，這些環(huán)并沒有產(chǎn)生混沌的混亂，而是擁有優(yōu)雅的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。我們稱一個(gè)穿過中心孔并圍繞管的環(huán)稱為“ a”?，F(xiàn)在，它可以作為更多環(huán)的基礎(chǔ)。由于回路可以繞管一次，兩次或任意多次，并且方向很重要，因此我們可以將回路表示為a，2a，– a等。但不是每個(gè)回路都是a的倍數(shù)，例如沿著管的長圓周且圍繞中心孔的環(huán)，我們可以將其稱為“ b”。從這一點(diǎn)來說，此時(shí)不再有獨(dú)特的行程了：圓環(huán)上的任何環(huán)都可以變形成環(huán)a和b的整數(shù)倍。有兩個(gè)一維環(huán)可用于構(gòu)建所有其他環(huán)，這意味著一維圓環(huán)的貝蒂數(shù)為2，與黎曼切割數(shù)相同。

圓環(huán)在其表面上具有無限多個(gè)不同的環(huán)。定向的環(huán) a，  b和 c 都不同，但是 c 可以變形以獲得環(huán) a 和b的并集 。

如果環(huán)c等效于環(huán)a與環(huán)b的組合，則我們將c = a + b寫成。這種表達(dá)不僅僅是符號上的方便?？梢允惯@種算法（環(huán)的加法和減法）嚴(yán)格。在數(shù)學(xué)術(shù)語中，允許加減的集合稱為群。因此，在圓環(huán)上，例如，一維同調(diào)群由諸如7 a + 5 b，2 a – 3 b等表達(dá)式組成。

恰當(dāng)?shù)?，同調(diào)的群結(jié)構(gòu)是在1920年代由艾米·諾特（Emmy Noether）發(fā)現(xiàn)的，她是研究群和其他代數(shù)結(jié)構(gòu)的先驅(qū)。由于Noether的觀察，數(shù)學(xué)家現(xiàn)在可以利用代數(shù)的力量，結(jié)構(gòu)和定理來理解拓?fù)?。例如，我們可以在?shù)學(xué)上確定地說，稻草，T恤和一條褲子在拓?fù)渖隙际遣煌膶ο螅驗(yàn)樗鼈兊耐{(diào)群不同。特別是，它們具有不同數(shù)量的孔。

那么，最后，拓?fù)鋵W(xué)家如何計(jì)算孔？使用貝蒂數(shù)。第零個(gè)Betti數(shù)b?是一種特殊情況。它只是計(jì)算對象的數(shù)量。因此，對于單個(gè)連通的形狀，b? =1。正如我們剛剛看到的那樣，第一個(gè)貝蒂數(shù)b?是形狀中的圓形孔的數(shù)量，例如圓柱吸管周圍的圓形，裝訂紙中的三個(gè)孔和圓環(huán)的兩個(gè)圓形方向。龐加萊（Poincaré）向我們展示了如何計(jì)算同調(diào)，以及更高維度上的相關(guān)貝蒂數(shù)：第二貝蒂數(shù)b?是空腔的數(shù)量-像球形，圓環(huán)和瑞士奶酪中的空腔。一般而言，bn計(jì)算n維孔的數(shù)量。

值得注意的是，龐加萊的同調(diào)性使我們回到了歐拉身上。正如可以使用頂點(diǎn)數(shù)，邊數(shù)和面數(shù)來計(jì)算曲面的歐拉數(shù)一樣，也可以使用其Betti數(shù)來計(jì)算：b? – b? + b?。例如，圓環(huán)，是連通的，因此b? = 1; 如我們所見（圓形孔的數(shù)量），它的b? = 2；并且，因?yàn)樗哂幸粋€(gè)內(nèi)部空腔，所以b? =1。正如Lhuilier指出的那樣，圓環(huán)的歐拉數(shù)為1 - 2 + 1 = 0。

盡管數(shù)學(xué)家已經(jīng)有近一個(gè)世紀(jì)對同調(diào)性的基本理解，但是代數(shù)拓?fù)淙匀皇且粋€(gè)活躍的，將代數(shù)和拓?fù)溥M(jìn)一步結(jié)合在一起的研究領(lǐng)域。研究人員還向其他方向開辟分支，發(fā)展了用數(shù)字表示各形狀的同調(diào)性所必需的定理和算法，建立了識別大型數(shù)據(jù)集（通常位于高維空間）的底層形狀的工具，等等。

還有其他人已經(jīng)將這些理論工具應(yīng)用于真實(shí)世界。例如，想象一下，分散的小型，低成本傳感器集合，它們在一定的半徑覆蓋范圍內(nèi)檢測到某些東西，例如運(yùn)動(dòng)，火災(zāi)，氣體排放。傳感器不知道它們的位置，但是他們知道附近還有哪些其他傳感器。2007年，Vin de Silva和Robert Ghrist展示了如何基于這種粗糙的信息，利用同調(diào)性檢測傳感器覆蓋范圍中的孔。在更近的一篇論文中，米歇爾·馮（Michelle Feng）和梅森·波特（Mason Porter）在2016年總統(tǒng)大選期間的加州，使用了一種稱為持久同調(diào)性的新技術(shù)來檢測政治孤島（支持一個(gè)候選人的地理空缺，支持了另一個(gè)候選人）。

因此，就像許多純粹的數(shù)學(xué)領(lǐng)域只是從理論上開始思考一樣，拓?fù)湟呀?jīng)證明了其現(xiàn)實(shí)價(jià)值，而不僅僅是解決稻草有多少個(gè)孔的問題。