勒貝格利用可測(cè)集和可測(cè)函數(shù)的思想作出他的最大貢獻(xiàn)：勒貝格積分。

有界函數(shù)f的黎曼積分從把定義域剖分為細(xì)小的子區(qū)間的一個(gè)劃分開始，在這些子區(qū)間上構(gòu)建矩形，它們的高由函數(shù)值確定，最后令最大子區(qū)間的寬度收縮為零。相反，替代的勒貝格積分乃是基于一種簡(jiǎn)單而又富有想象力的思想：采用函數(shù)值域的劃分代替定義域的劃分。

我們用圖解來說明，考慮圖14-3中的有界可測(cè)函數(shù)。勒貝格令為f在區(qū)間[a, b]上的下確界和上確界，即函數(shù)的最大下界和最小上界，所以區(qū)間[l, L]包含函數(shù)的值域。于是，對(duì)于任意，勒貝格設(shè)想?yún)^(qū)間[l, L]的一個(gè)由點(diǎn)

構(gòu)成的劃分，其中相鄰分點(diǎn)之間的最大間隔小于ε。

圖　14-3

用沿y軸的這樣一個(gè)劃分，我們建立“勒貝格和”。像黎曼和一樣，我們將用面積已知的一些區(qū)域逼近曲線下方的區(qū)域，不過我們可以不再要求這些區(qū)域一定為矩形。相反，我們考慮沿y軸的子區(qū)間，并且注意由定義的[a, b]的子集。這個(gè)子集就是圖14-3中在x軸上標(biāo)示出的部分。這里，是三個(gè)子區(qū)間的并集，但是它的結(jié)構(gòu)可能非常復(fù)雜，這同求積分的函數(shù)有關(guān)。

在黎曼方法的相似步驟中，我們是構(gòu)造一個(gè)矩形，它的高是函數(shù)值的近似值，寬是相應(yīng)子區(qū)間的長(zhǎng)度，而其面積為這兩個(gè)值的乘積。對(duì)于勒貝格積分，我們用作為函數(shù)在集合上的近似值，但是如果不是區(qū)間的情形，如何去確定它的長(zhǎng)度呢？

毫不奇怪，答案是用集合的測(cè)度扮演這種長(zhǎng)度的角色。我們用高乘“長(zhǎng)度”得到的作為黎曼和中窄小矩形之一的相應(yīng)面積。在函數(shù)值域的所有子區(qū)間上對(duì)這些面積求和，我們得到一個(gè)勒貝格和，在這個(gè)級(jí)數(shù)中我們令最后一項(xiàng)為。最后，勒貝格令，致使的最大值也趨近零。如果通過極限過程產(chǎn)生一個(gè)唯一的值，我們就說f在[a, b]上是勒貝格可積的，并且定義

在繼續(xù)進(jìn)行討論之前，我們必須說明兩個(gè)問題。第一，很明顯，集合把區(qū)間[a, b]劃分成若干子集，不過不一定是子區(qū)間。第二，我們假定f是可測(cè)的，根據(jù)式（4），這個(gè)假定蘊(yùn)含每個(gè)以及是可測(cè)集，所以我們完全可以討論關(guān)于的問題。至此，一切都井然有序。

勒貝格在為一般讀者編寫的一本書中，用一個(gè)比喻來對(duì)比黎曼的方法與他自己的方法。他想象一位零售商，在一天終結(jié)時(shí)想要匯總營(yíng)業(yè)收入。對(duì)于這位店主來說，一種選擇是“按照隨機(jī)順序計(jì)算到手的現(xiàn)金和賬單”。勒貝格把這樣一位零售商稱為“缺乏系統(tǒng)觀點(diǎn)的”人，他依次累加收集起來的款項(xiàng)：1美元，10美分，25美分，另1美元，10美分，如此等等。這種方法猶如當(dāng)他們從左至右越過區(qū)間[a, b]時(shí)提取遇到的函數(shù)值。對(duì)于黎曼積分，這個(gè)過程是由定義域中的值“驅(qū)動(dòng)”的，而值域中的值被擱置一旁。

勒貝格接著指出，如果不這樣做，店主在結(jié)賬時(shí)不考慮收到每筆款項(xiàng)的順序，而代之以按款項(xiàng)的面值分組，難道不是更為可取嗎？例如，可能共計(jì)收到10美分12筆，25美分30筆，1美元50筆，等等。這樣，計(jì)算一天的收入將變得很簡(jiǎn)單：用每種幣值的數(shù)量（對(duì)應(yīng)于的測(cè)度）乘以幣值（對(duì)應(yīng)于函數(shù)值），然后對(duì)結(jié)果求和。這種情況下，正如勒貝格積分的情形，其過程是由值域中的函數(shù)值驅(qū)動(dòng)的，而劃分定義域的被擱置一旁。

勒貝格承認(rèn)，對(duì)于商業(yè)經(jīng)營(yíng)中涉及的有限的量，這兩種方法產(chǎn)生同樣的結(jié)果?！暗菍?duì)于我們必須求數(shù)目無限的極微小的量之和而言，”他寫道，“這兩種方法之間存在著巨大差別。”為了強(qiáng)調(diào)這種差別，他指出：

我們的積分的構(gòu)造定義，同黎曼積分的定義十分相似。不過，黎曼是把變量x改變的區(qū)間剖分成微小的子區(qū)間，而我們則是剖分函數(shù)f?(x)改變的區(qū)間。

為了說明自己并非漫無目標(biāo)地追求定義，勒貝格證明了關(guān)于他的新積分的若干定理。我們將考察其中幾個(gè)定理，但是不予證明。

定理 1　地如果f(x)是區(qū)間[a, b]上的有界黎曼可積函數(shù)，那么f是勒貝格可積的，并且在兩種情況下具有相同的積分值。

這個(gè)結(jié)果是令人欣慰的，因?yàn)樗f明勒貝格積分保存了黎曼積分的精華。

定理 2　如果f(x)是區(qū)間[a, b]上的有界可測(cè)函數(shù)，那么它的勒貝格積分存在。

我們從這個(gè)定理看出勒貝格思想的巨大力量，因?yàn)榭蓽y(cè)函數(shù)族包含的函數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于黎曼可積函數(shù)（即所有那些幾乎處處連續(xù)的函數(shù)）族。簡(jiǎn)而言之，勒貝格可積的函數(shù)多于黎曼可積的函數(shù)。定理1和定理2表明，勒貝格名副其實(shí)地?cái)U(kuò)充了過去的理論。

例如，我們已經(jīng)知道狄利克雷函數(shù)d(x)在區(qū)間[0, 1]上是有界的和可測(cè)的。因此，盡管事實(shí)上積分在黎曼的理論下是沒有意義的，然而作為勒貝格積分卻是存在的。

更為可取之處在于，這個(gè)積分值是很容易計(jì)算的。我們從值域的任意劃分著手。根據(jù)狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)，

對(duì)于這個(gè)隨意的劃分，勒貝格和為

正是由于對(duì)于任意劃分這個(gè)勒貝格和為零，所以，所有這樣的極限也為零。也就是說，。

狄利克雷函數(shù)是處處不連續(xù)的這一事實(shí)，使它成為黎曼不可積的，但是這樣普遍的不連續(xù)性對(duì)于勒貝格積分是無關(guān)緊要的。這種結(jié)果無可爭(zhēng)辯地說明數(shù)學(xué)上取得的巨大進(jìn)展。

定理 3　地如果f和g是區(qū)間[a, b]上的有界可測(cè)函數(shù)，并且?guī)缀跆幪幱?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2023/05/2016/266281584_31_2023052004132255.png' data-ratio='0.2898148148148148' data-type='png' data-w='1080' alt='圖片' src='http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif'>，那么。

這個(gè)定理說明，改變一個(gè)可測(cè)函數(shù)在一個(gè)測(cè)度為零的集合上的值，對(duì)于它的勒貝格積分的值沒有影響。對(duì)于黎曼積分，如果改變函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)上的值，不會(huì)改變積分值，但是一旦胡亂修改無窮多點(diǎn)上的函數(shù)值，結(jié)果就無法預(yù)料了。相形之下，勒貝格積分具備足夠的抗變能力，我們可以在一個(gè)測(cè)度為零的無窮集合上改變函數(shù)值而不影響它的可積性和積分值。

為了考查這個(gè)定理的作用，我們重溫區(qū)間[0, 1]上的狄利克雷函數(shù)和直尺函數(shù)，并且通過引進(jìn)在[0, 1]上所有點(diǎn)都等于0的函數(shù)，組成一個(gè)三位一體的函數(shù)。這三個(gè)函數(shù)d, R, g自然不是全等的，因?yàn)樗鼈冊(cè)趩挝粎^(qū)間的有理數(shù)點(diǎn)上具有不同的值。但是從測(cè)度理論的觀點(diǎn)看，這樣的差別是微不足道的，因?yàn)?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2023/05/2016/266281584_36_20230520041322602.png' data-ratio='0.10462962962962963' data-type='png' data-w='1080' alt='圖片' src='http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif'>。換句話說，狄利克雷函數(shù)和直尺函數(shù)幾乎處處等于零。由定理3推出，這正是我們過去見過的結(jié)果。

在勒貝格的論文中還有另外一個(gè)重要定理，那就是我們現(xiàn)在所說的有界收斂定理。他在非常弱的條件下，證明了這個(gè)允許進(jìn)行極限與積分的交換的定理。這是超越黎曼理論的一項(xiàng)重大進(jìn)展。

定理4（勒貝格有界收斂定理）　如果是區(qū)間[a, b]上的可測(cè)函數(shù)序列，其中的函數(shù)以數(shù)M >0一致為界（即對(duì)于所有k≥1和[a, b]內(nèi)的所有x有），并且如果是點(diǎn)態(tài)極限，那么

利用這個(gè)定理我們可以提出對(duì)的第三次處理。早先我們引進(jìn)了區(qū)間[0, 1]上的一個(gè)函數(shù)序列，如在式（1）中所見，對(duì)于這個(gè)序列，。顯然，對(duì)于所有x和全部k，，所以這是一個(gè)一致有界的函數(shù)族，同時(shí)由于每個(gè)在除k個(gè)點(diǎn)之外為零，可知每個(gè)函數(shù)是可測(cè)的并且。根據(jù)勒貝格有界收斂定理，我們?cè)僖淮瓮瞥?/p>

勒貝格有界收斂定理的證明（1904）

時(shí)代鑄就一個(gè)人的最后成就。我們回憶一下，沃爾泰拉曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)一個(gè)病態(tài)函數(shù)，它具有有界而不可積的導(dǎo)數(shù)。在沃爾泰拉時(shí)代， “不可積的”自然是指“不是黎曼可積的”。

然而，采用勒貝格定義的替代積分，這個(gè)函數(shù)的病態(tài)特征隨之消失。因?yàn)樘热?em>F是具有有界導(dǎo)數(shù)F'的可微函數(shù)，那么勒貝格積分必定存在，這正如我們?cè)诘?3章所見，F'是屬于貝爾0類或貝爾1類的函數(shù)。這是使其成為勒貝格可積的充分條件。

有界收斂定理更值得稱道之處還在于，它使勒貝格得以證明下面的定理。

定理 5　如果函數(shù)F在區(qū)間[a, b]上是可微的并且具有有界的導(dǎo)數(shù)F'，那么。

這是完全恢復(fù)原來的完美形態(tài)的微積分基本定理。對(duì)于勒貝格積分，為使基本定理成立，對(duì)導(dǎo)數(shù)無需附加限制條件，例如不必要求導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。因此，在一定的意義下，勒貝格把微積分中的這個(gè)處在中心地位的結(jié)果恢復(fù)成它在牛頓和萊布尼茨時(shí)代那種“自然的”形式。

在行將結(jié)束之際，我得承認(rèn)，許許多多的技術(shù)細(xì)節(jié)在對(duì)勒貝格工作的這個(gè)簡(jiǎn)短介紹中無法顧及。對(duì)他的思想的全面論述需要花費(fèi)大量的時(shí)間和篇幅，那樣自然會(huì)使那些來自他的博士論文的思想越發(fā)令人驚嘆！毫不奇怪，這篇學(xué)位論文出類拔萃，獨(dú)樹一幟。

在1904年那本重要的專題著作的序言中，勒貝格承認(rèn)他的那些定理把我們從“優(yōu)美的”函數(shù)之邦帶到一個(gè)更復(fù)雜的函數(shù)王國(guó)，而為了解決那些簡(jiǎn)單陳述的具有歷史意義的問題，還需要在這片王國(guó)居住下來。他寫道：“這是為了解決已經(jīng)提出的那些問題而不是出于對(duì)復(fù)雜事物的偏愛，我在書中引進(jìn)一個(gè)積分定義，這個(gè)定義比黎曼積分的定義更具有普遍性，并且把黎曼積分作為一個(gè)特例?！?nbsp;

為的是解決歷史留下的問題而不是為了使生活變得錯(cuò)綜復(fù)雜化：這是亨利·勒貝格在他研究數(shù)學(xué)的旅程中所奉行的金科玉律。