楊輝三角形(又稱賈憲三角形或帕斯卡三角形)是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中解釋了二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.在展開式中,a是按其冪指數(shù)由高到低排列的， b是按其冪指數(shù)由低到高排列的;首項(xiàng)a的次數(shù)與末項(xiàng)b的次數(shù)相同,都等于二項(xiàng)式乘方的次數(shù);各項(xiàng)中 a,b的指數(shù)和也等于二項(xiàng)式乘方的次數(shù);展開式中的項(xiàng)數(shù)比二項(xiàng)式乘方的次數(shù)多 1.展開式各項(xiàng)的系數(shù)的規(guī)律:每一行首末兩項(xiàng)系數(shù)都是1,中間各項(xiàng)系數(shù)等于它上一行相鄰的兩個系數(shù)之和,第n行系數(shù)的和等于2^n-1.按照這個規(guī)律,可以把(a+b)^n(n=3,4,…)的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)直接寫出來.例如,(a+b)3的展開式中,各項(xiàng)的系數(shù)分別為1,3,3,1.傳說在很久以前,夏禹治水來到洛水,洛水中浮起一只大烏龜,烏龜背上有一個奇怪的圖,圖上有許多圈和點(diǎn),這些神秘的圈和點(diǎn)表示什么意思呢?有人好奇的數(shù)了一下龜背上的圈數(shù)和點(diǎn)數(shù),再用數(shù)字表示出來,發(fā)現(xiàn)這里面有非常有趣的關(guān)系:把龜背上的數(shù)填入3x3的正方形方格中,不管是把橫著的3個數(shù)相加,還是把豎著的3個數(shù)相加,或者把斜著的3個數(shù)相加,其和都等于15. 這就是我們所說的三階幻方,而有關(guān)幻方的最早記錄,是約于公元前2200年在我國出現(xiàn)的“洛書”.斐波那契數(shù)列,又稱黃金分割數(shù)列,因十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例而引入,故又稱為“兔子數(shù)列”,指的是這樣一個數(shù)列:1、1、2、3、5、8、13、21、34......這列數(shù)的規(guī)律是:從第3 項(xiàng)開始,每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和.在實(shí)際生活中,斐波那契數(shù)列中的數(shù)會經(jīng)常出現(xiàn)在我們的眼前,例如松果、樹葉的排列,某些花朵的花瓣數(shù)(如向日葵花瓣),蜂巢,蜻蜓翅膀等,斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.著名的斐波那契螺旋線(也稱“黃金螺旋線”)就是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線,自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案,是自然界最完美的經(jīng)典黃金比例.三等分角是古希臘幾何尺規(guī)作圖當(dāng)中的名題,和化圓為方、倍立方問題被并列為古代數(shù)學(xué)的三大難題之一,該問題的完整敘述為:在只用圓規(guī)及一把沒有刻度的直尺將一個給定角三等分.而如今數(shù)學(xué)上已證實(shí)了在尺規(guī)作圖的前提下,這個問題無解.經(jīng)過人們的研究,若將條件放寬,則可以將一個給定角三等分.例如阿基米德就曾給出用有刻度的直尺三等分角的方法、帕普斯借助反比例函數(shù)給出一種三等分角的方法,還有折紙法等等.
中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一，稱為商高定理,而更普遍地則稱為勾股定理.中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾,較長的直角邊叫做股,斜邊叫做弦.勾股定理,是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠,被稱為“幾何學(xué)的基石”,希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯也發(fā)現(xiàn)了這個定理,因此世界上許多國家又稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯定理”或“百牛定理”.提示:圖①中拼成的正方形與圖②中拼成的正方形面積相等.提示:以斜邊為邊長的正方形的面積+4個三角形的面積=外正方形的面積.3.美國第 20 任總統(tǒng)茄菲爾德的證法(圖④)提示:3個三角形的面積之和=梯形的面積.
三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“弦圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法,給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖,四個全等的直角三角形可以圍成一個大的正方形,中間空的是一個小正方形.通過對這個圖形的切割、拼接,巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理.證明方法如下:設(shè)直角三角形的三邊中較短的直角邊為a,另一直角邊為b,斜邊為c,朱實(shí)面積=2ab,黃實(shí)面積=(b-a)2=b2-2ab+a2,朱實(shí)面積+黃實(shí)面積=a2+b2=大正方形面積=c2.古希臘的幾何學(xué)家海倫(Heron,約公元50年)，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測量問題而聞名,在他的著作《度量》一書中,給出了上述公式和它的證明,這一公式稱為海倫公式.海倫公式和秦九韶公式實(shí)質(zhì)上是同一個公式,所以我們一般也稱此公式為海倫一秦九韶公式.
黃金分割是指將整體一分為二,較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值,其比值約為 0.618,這個比值被稱為黃金比例,這個比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例.1.常見的幾何圖形有:黃金三角形(等腰三角形的頂角或者兩底角為36°),黃金矩形(寬與長的比等于黃金比（√5-1）/2的矩形),正五角星等;2.常見的生活應(yīng)用:建筑如古埃及的金字塔,巴黎的圣母院,法國的埃菲爾鐵塔;雕塑如斷臂維納斯;名畫如達(dá)·芬奇的作品《蒙娜麗莎》等;3.黃金螺旋線(如圖①)也稱“斐波那契螺旋線”,是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線.(1)如圖②,過點(diǎn)B作AB 的垂線,并在垂線上取BC=AB;(2)連接 AC,以點(diǎn) C為圓心,CB為半徑畫弧,交AC 于點(diǎn) E;(3)以點(diǎn)A為圓心,AE為半徑畫弧,交AB 于點(diǎn)P.則點(diǎn)P即為所求.10、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》是2006年科學(xué)出版社出版的圖書,作者是(美)喬治·波利亞.本書通過對各種類型生動而有趣的典型問題(有些是非數(shù)學(xué)的)進(jìn)行細(xì)致剖析,提出它們的本質(zhì)特征,從而總結(jié)出各種數(shù)學(xué)模型.例如:給定A、B和C三個點(diǎn),作一條直線交 AC于X點(diǎn),交BC于Y點(diǎn),使得AX=XY=YB. 歐幾里得(約公元前330年~公元前 275年),古希臘數(shù)學(xué)家,被稱為“幾何之父”.他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),提出五大公設(shè),歐幾里得幾何,被廣泛認(rèn)為是歷史上最成功的教科書.歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品.1.歐幾里得定理:直角三角形中,斜邊上的高的平方是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng).每一條直角邊的平方是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).即如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜邊AC上的高,則由歐幾里得定理可得:2.歐幾里得證明了命題(y+z)2=y2+z2+2yz,(y+z)(y- z)=y2-z2.3.還有比較常見的幾何的一些定理性質(zhì),如:在任意三角形中,大邊對大角等等.阿波羅尼奧斯(Apollonius of Perga,約公元前262年~190年),古希臘數(shù)學(xué)家,與歐幾里得、阿基米德齊名,他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果.在幾何學(xué)中,他給出了著名的阿波羅尼奧斯定理,這是一個關(guān)于三角形邊長與中線長度關(guān)系的定理.阿波羅尼奧斯定理:如圖,在△ABC 中,AD 是中線,那么:AB2+AC2=2(AD2+BD2).阿波羅尼奧斯定理的推廣即為斯圖爾特定理,同時在該定理中,若△ABC是等腰三角形(AB=AC),則 ADLBC,該定理可以簡化為△ABD 或△ACD 的勾股定理.阿波羅尼奧斯圓:點(diǎn)P是平面內(nèi)一個動點(diǎn),若點(diǎn) P到兩個定點(diǎn)的距離之比始終等于一個定值,則點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是一個圓.阿波羅尼奧斯還提出了許多新的性質(zhì),并給出拋物線、橢圓、雙曲線、正焦弦等名稱,他在解釋太陽系內(nèi)5大行星的運(yùn)動時，提出了本輪均輪偏心模型,為托勒密的地心說提供了工具.泰勒斯是古希臘時期的思想家、科學(xué)家、哲學(xué)家，泰勒斯在數(shù)學(xué)方面劃時代的貢獻(xiàn)是引入了命題證明的思想,它標(biāo)志著人們對客觀事物的認(rèn)識從經(jīng)驗(yàn)上升到理論,這在數(shù)學(xué)史上是一次不尋常的飛躍.在數(shù)學(xué)中引入邏輯證明,它的重要意義在于:保證了命題的正確性;揭示各定理之間的內(nèi)在聯(lián)系,使數(shù)學(xué)構(gòu)成一個嚴(yán)密的體系,為進(jìn)一步發(fā)展打下基礎(chǔ);使數(shù)學(xué)命題具有充分的說服力,令人深信不疑.1.泰勒斯定理以他的名字命名，其內(nèi)容為:若A,B,C是圓周上的三點(diǎn),且AC是該圓的直徑，那么∠ABC 必然為直角,或者說,直徑所對的圓周角是直角.2.他曾利用日影來測量金字塔的高度,也曾準(zhǔn)確的預(yù)測過日食,他是古希臘第一個將一年修正為365天的人.圓冪定理是平面幾何中的一個定理,是相交弦定理、割線定理、切割線定理的統(tǒng)一.1.相交弦定理:如圖①,若圓內(nèi)任意弦AB弦CD交于點(diǎn)P,則PA·PB=PC·PD2.割線定理:如圖②,P是圓外一點(diǎn),過點(diǎn)P的兩條直線分別與圓交于點(diǎn)A、B、C、D,則PA·PB=PC.PD. ???3.切割線定理:如圖③,P是圓外一點(diǎn),直線PA與圓交于點(diǎn)A、B,PT是圓的切線,T為切點(diǎn),則PT2=PA·PB.利用尺規(guī)作圖,求作一個正方形,使它的面積等于已知圓的面積,即“化圓為方”問題.這是古希臘的三大難題之一,也是其中最難解決的一個問題.月形定理實(shí)際上是勾股定理推廣的一個應(yīng)用,它是由古希臘幾何學(xué)家希波克拉底提出的,主要是解決圓形和方形面積轉(zhuǎn)化問題(化圓為方).得出結(jié)論如下:如圖,兩個月牙形的面積之和,等于△ABC的面積,即 S+S?=S3.蝴蝶定理(Butterfly Theorem),是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一.這個命題最早出現(xiàn)在1815 年，由 W.G.霍納提出證明.而“蝴蝶定理”這個名稱最早出現(xiàn)在《美國數(shù)學(xué)月刊》1944年2月號,題目的圖形像一只蝴蝶.蝴蝶的身形具有對稱性,它的身長與張開的翅膀之比為黃金比,那么它還具有哪些性質(zhì)呢?將這種蝴蝶身上的6個特殊點(diǎn)(圖①)連接起來,可以得到圖②,其中包含3個等腰梯形,若四邊形ABDC 是等腰梯形,MN過對角線AD、BC的交點(diǎn)H,且 AB//MN// CD,則我們可以得到許多結(jié)論,例如:△ABC≌△BAD,△ACD≌△BDC，△AHC≌ △BHD,△ABH~△DCH等等.若四邊形ABDC是一般梯形,你能猜出哪些結(jié)論仍然成立嗎?圓中的蝴蝶定理:如圖③,設(shè)M為圓內(nèi)弦 PQ的中點(diǎn)，過M作弦 AB和CD,設(shè)AD和BC各相交PQ于點(diǎn)X和Y,則M是XY的中點(diǎn).
該定理不僅有許多推廣,例如:點(diǎn)M移到圓外,也可以將圓變?yōu)橐粋€箏形,M為對角線交點(diǎn),其逆定理也成立.
婆羅摩笈多(Brahmagupta),是七世紀(jì)時的印度數(shù)學(xué)家,他編著了《婆羅摩修正體系》(數(shù)學(xué)方面)和《肯達(dá)克迪迦》(天文學(xué)方面)兩部著作.數(shù)學(xué)部分涉及到三角形、四邊形、零、負(fù)數(shù)、一階和二階方程的研究,他提出的一些概念在世界數(shù)學(xué)史上有很高的地位.1. 婆羅摩笈多定理:若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直,則垂直于該四邊形一邊且過對角線交點(diǎn)的直線將平分對邊.即:如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD 的對角線ACIBD,垂足為M,過M作EF⊥BC于點(diǎn) E,交AD于點(diǎn)F,那么F是AD 的中點(diǎn).2. 婆羅摩笈多四邊形面積公式:若圓內(nèi)接四邊形的四邊長為a，b，c，d，則其面積為: ,其中s為半周長,即S= （a+b+c+d）/2，后來人們經(jīng)過研究對婆羅摩笈多公式進(jìn)行了擴(kuò)展,可以得到一般四邊形的面積的計(jì)算公式:,其中0是四邊形任意一組對角的度數(shù)和的一半，歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一,他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn),更把整個數(shù)學(xué)推至物理的領(lǐng)域.他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家,平均每年寫出八百多頁的論文,還寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等的課本,《無窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)界中的經(jīng)典著作.歐拉對數(shù)學(xué)的研究如此之廣泛,因此在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理.1.歐拉定理:設(shè)三角形的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,外心與內(nèi)心的距離為d,則d2=R2-2Rr.2.歐拉線定理:任意不等邊的△ABC的外心O、重心G、垂心H三點(diǎn)共線,則HG=2G0.3.歐拉恒等式:對于整數(shù)甲、乙、a、b、c、d、e、f、g、h,若甲=a2+b2+c2+d2,乙=e2+f2+g2+h2,則甲x乙=A2+ B2+C2+D2,其中A、B、C、D也是整數(shù),即(a2+b2+c2+ d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2.
阿基米德(公元前287年~公元前212年),偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家,靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人,并且享有“力學(xué)之父”的美稱,阿基米德和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家.1.鞋匠刀形:如圖①,若C是線段AB上的任一點(diǎn),分別以 AB,BC,CA 為直徑且在AB的同側(cè)作半圓,則這三個半圓周所圍成的圖形稱為鞋匠刀形.阿基米德證明了鞋匠刀形的面積等于以AC為直徑的圓的面積.如果鞋匠刀形內(nèi)兩個內(nèi)切圓位于AC的兩側(cè),并與AC相切,那么這兩個圓相等.2.阿基米德折弦定理:如圖②所示,AB 和BC是⊙0的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦),BC>AB,M是弧 ABC 的中點(diǎn),則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦 ABC 的中點(diǎn),即CD=AB+BD.3.圓的引理:阿基米德提出了六個圓有關(guān)的引理,其中一個是:如圖③,設(shè)AB是一個半圓的直徑,并且過點(diǎn)B的切線與過該半圓上的任意一點(diǎn)D的切線交于點(diǎn) T,如果作 DE垂直AB于點(diǎn)E,且與AT交于點(diǎn)F,則 DF=EF.
皮埃爾·德·費(fèi)馬,17世紀(jì)法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家,被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”.1638年,勒內(nèi).笛卡兒邀請費(fèi)馬思考關(guān)于到三個頂點(diǎn)距離為定值的函數(shù)問題,費(fèi)馬經(jīng)過思考并由此提出費(fèi)馬點(diǎn)的相關(guān)結(jié)論.定義:若一個三角形的最大內(nèi)角小于 120°,則在其內(nèi)部有一點(diǎn),可使該點(diǎn)所對三角形三邊的張角均為120°,此時該點(diǎn)叫做這個三角形的費(fèi)馬點(diǎn).例如:如圖,點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).費(fèi)馬大定理:費(fèi)馬的結(jié)論就是:當(dāng)自然數(shù)n≥3時,關(guān)于x,y,z的方程x"+y"=z"沒有正整數(shù)解.梅涅勞斯(Menelaus)是公元1世紀(jì)時的古希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家,著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍.梅涅勞斯定理(簡稱梅式定理),最早出現(xiàn)在梅涅勞斯的著作《球面體》.塞瓦(Giovanni Ceva,1648~1734),意大利水利工程師,數(shù)學(xué)家.塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的《直線論》一書,也有書中說塞瓦定理是塞瓦重大發(fā)現(xiàn).
塞瓦定理記憶方法:三頂點(diǎn)選一個作為起點(diǎn),定一方向,繞一圈,三組比例相乘為一.
克羅狄斯·托勒密是古希臘后期著名數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家,地理學(xué)家和光學(xué)家,他一生寫了多部科學(xué)著作,其中有三部對科學(xué)發(fā)展有重大影響.第一個是現(xiàn)在被稱為Almagest 的天文論文(即《天文學(xué)大成》)，盡管它最初被稱為《數(shù)學(xué)論文》,然后又被稱為《偉大論文》.第二個是地理,第三個是占星議論文.
托勒密定理:在一個圓內(nèi)接四邊形中,如圖②,有 AB·CD+AD·BC=AC·BD.(托勒密定理的一個特例就是我們熟知的勾股定理)
羅伯特·西姆松是英國數(shù)學(xué)家,他在幾何學(xué)和算術(shù)方面都有一些貢獻(xiàn),他曾于1756年校訂過歐幾里得的《幾何原本》.西姆松定理是一個平面幾何定理.其表述為:過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長線的垂線,則三垂足共線(此線常稱為西姆松線);西姆松定理的逆定理為:若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線,則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上.
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